El conjunto de números reales positivos no nulos se divide en tres subconjuntos mutuamente disjuntos no vacíos $(A\cup B\cup C)$. a) Demuestre que existe un triángulo de longitudes de lado $a,b,c$, tal que $a\in A, b\in B, c\in C$. b) ¿Siempre sucede que existe un triángulo rectángulo con la propiedad anterior?

¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los reales $x,y$?

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $2^{n}+3^{n}$ es divisible por $n^{2}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, con $\angle BAC=\angle DAC$ y $M$ un punto interior tal que $\angle MBA=\angle MCD$ y $\angle MBC=\angle MDC$. Demuestre que el ángulo $\angle ADC$ es igual a $\angle BMC$ o $\angle AMB$.

Se dan $111$ monedas y una tabla de $n\times n$ dividida en celdas unitarias. Estas monedas se colocan dentro de las celdas unitarias (una celda unitaria puede contener una moneda, muchas monedas o puede estar vacía), de tal manera que la diferencia entre el número de monedas de dos celdas vecinas (que tienen una arista común) es $1$. Encuentre el $n$ máximo para que esto sea posible.

Sea $O$ el circuncentro y $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $\Omega$ , distinto de $A$ , $B$ , $C$ y sus antípodas en $\Omega$ . Denote los circuncentros de los triángulos $AOP$ , $BOP$ y $COP$ por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Las líneas $\ell_A$ , $\ell_B$ , $\ell_C$ perpendiculares a $BC$ , $CA$ y $AB$ pasan por $O_A$ , $O_B$ y $O_C$ , respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo formado por $\ell_A$ , $\ell_B$ y $\ell_C$ es tangente a la línea $OP$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ e incentro $I$ . Una línea $\ell$ interseca las líneas $AI$ , $BI$ y $CI$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente, distintos de los puntos $A$ , $B$ , $C$ e $I$ . Las bisectrices perpendiculares $x$ , $y$ y $z$ de los segmentos $AD$ , $BE$ y $CF$ , respectivamente, determinan un triángulo $\Theta$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $\Theta$ es tangente a $\Omega$ .

Un punto $T$ se elige dentro de un triángulo $ABC$. Sean $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ las reflexiones de $T$ en $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $A_1B_1C_1$ . Las líneas $A_1T$ , $B_1T$ y $C_1T$ se encuentran con $\Omega$ de nuevo en $A_2$ , $B_2$ y $C_2$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $AA_2$ , $BB_2$ y $CC_2$ son concurrentes en $\Omega$ .

Sean $a$ y $b$ enteros positivos distintos. El siguiente proceso infinito tiene lugar en un tablero inicialmente vacío. Si hay al menos un par de números iguales en el tablero, elegimos tal par e incrementamos uno de sus componentes por $a$ y el otro por $b$ . Si no existe tal par, escribimos dos veces el número $0$ . Demuestra que, sin importar cómo hagamos las elecciones en $(i)$ , la operación $(ii)$ se realizará solo un número finito de veces.

Sea $k$ un entero positivo. El comité organizador de un torneo de tenis debe programar los partidos para $2k$ jugadores de modo que cada dos jugadores jueguen una vez, cada día se juegue exactamente un partido, y cada jugador llegue al sitio del torneo el día de su primer partido, y se vaya el día de su último partido. Por cada día que un jugador está presente en el torneo, el comité tiene que pagar $1$ moneda al hotel. Los organizadores quieren diseñar el programa para minimizar el costo total de las estancias de todos los jugadores. Determina este costo mínimo.