Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con su incentro $I$ y su circunferencia circunscrita $\Gamma$. La línea $AI$ interseca a $\Gamma$ por segunda vez en $M$. Sea $N$ el punto medio de $BC$ y $T$ el punto en $\Gamma$ tal que $IN \perp MT$. Finalmente, sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $TB$ y $TC$, respectivamente, con la línea perpendicular a $AI$ en $I$. Demostrar que $PB = CQ$.

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $AB = BC$ y $\angle ABD = \angle BCD = 90$. Sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. El punto $F$ se encuentra en el lado $AD$ de tal manera que $\frac{AF}{F D}=\frac{CE}{EA}$. El círculo $\omega$ con diámetro $DF$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABF$ se intersecan por segunda vez en el punto $K$. El punto $L$ es la segunda intersección de $EF$ y $\omega$. Demostrar que la línea $KL$ pasa por el punto medio de $CE$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Los puntos $E, F$ se encuentran en los lados $AB, CD$ respectivamente, de tal manera que $\angle EDC = \angle FBC$ y $\angle ECD = \angle FAD$. Demostrar que $AB \geq 2BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Sea $H$ el ortocentro de $ABC$. El punto $E$ es el punto medio de $AC$ y el punto $D$ se encuentra en el lado $BC$ de tal manera que $3CD = BC$. Demostrar que $BE \perp HD$.

Sean $a < b < c < d < e$ enteros positivos. Demuestra que $$\frac{1}{[a, b]} + \frac{1}{[b, c]} + \frac{1}{[c, d]} + \frac{2}{[d, e]} \le 1$$ donde $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x$ e $y$ (p.ej., $[6, 10] = 30$ ) . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con hipotenusa $BC$ . La tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ interseca la línea $BC$ en $T$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen de manera que $AD = BD, AE = CE,$ y $\angle CBD = \angle BCE < 90^{\circ}$ . Demuestra que $D, E,$ y $T$ son colineales.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$ y circuncírculo $k$ . Sea $\omega$ el círculo con diámetro $AH$ y $P$ el punto de intersección de $\omega$ y $k$ distinto de $A$ . Asuma que $BP$ y $CP$ intersecan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $Q$ y $R$ , respectivamente. Si $D$ es el pie de la altura desde $A$ a $BC$ y $S$ es el punto de intersección de $\omega$ y $QD$ , demuestra que $HR = HS$ .

Dado un triángulo equilátero $ABC$ y un punto arbitrario, denotado por $E$ , en el segmento de línea $BC$ . Sea $l$ la línea que pasa por $A$ paralela a $BC$ y sea $K$ el punto en $l$ tal que $KE$ es perpendicular a $BC$ . El círculo con centro $K$ y radio $KE$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ , respectivamente. La línea perpendicular a $AB$ en $M$ interseca a $l$ en $D$ , y la línea perpendicular a $AC$ en $N$ interseca a $l$ en $F$ . Demuestra que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $MDA$ y $NFA$ pertenece a la línea $KE$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$ , donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$ . Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ que es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ . Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$ , respectivamente. Denotemos los puntos medios de $BH$ y $CH$ por $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestra que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $k$ . Los puntos $A_1, B_1,$ y $C_1$ en $k$ son los puntos medios de los arcos $\widehat{BC}$ (que no contiene a $A$ ) , $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$ ) , y $\widehat{AB}$ (que no contiene a $C$ ) , respectivamente. Los puntos distintos por pares $A_2, B_2,$ y $C_2$ son elegidos tal que los cuadriláteros $AB_1A_2C_1, BA_1B_2C_1,$ y $CA_1C_2B_1$ son paralelogramos. Prueba que $k$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $A_2B_2C_2$ tienen un centro común. Comentario. El punto $A_2$ también puede ser definido como la reflexión de $A$ con respecto al punto medio de $B_1C_1$ , y definiciones análogas pueden ser usadas para $B_2$ y $C_2$ .