El punto interior $ X$ de un cuadrilátero es observable desde el lado $ YZ$ si la perpendicular a la línea $ YZ$ lo encuentra en el intervalo cerrado $ [YZ].$ El punto interior de un cuadrilátero es un punto $ k-$ si es observable desde exactamente $ k$ lados del cuadrilátero. Pruebe que si un cuadrilátero convexo tiene un 1-punto entonces tiene un punto $ k-$ para cada $ k=2,3,4.$

Para los números reales positivos $ a,b,c$ pruebe que \[ \frac c{a + 2b} + \frac d{b + 2c} + \frac a{c + 2d} + \frac b{d + 2a} \geq \frac 43.\ ]

Sea SABC una pirámide triangular regular. Encuentre el conjunto de todos los puntos $ D (D! = S)$ en el espacio que satisfacen la ecuación $ |cos ASD - 2cosBSD - 2 cos CSD| = 3$ .

Encuentre todos los números primos $ p,q$ menores que 2005 y tales que $ q|p^2 + 4$ , $ p|q^2 + 4$ .

Sea el círculo $ (I; r)$ inscrito en el triángulo $ ABC$ . Sea $ D$ el punto de contacto de este círculo con $ BC$ . Sean $ E$ y $ F$ los puntos medios de $ BC$ y $ AD$ , respectivamente. Pruebe que los tres puntos $ I$ , $ E$ , $ F$ son colineales.

Para los números reales positivos $ a,b,c$ pruebe la desigualdad\n\[ \frac {c}{a + 2b} + \frac {a}{b + 2c} + \frac {b}{c + 2a}\ge1.\ ]

Sea $ n$ un entero , $ n \geq 3.$ Sean $ x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales tales que $ x_i < x_{i+1}$ para $ 1 \leq i \leq n - 1$ . Demuestra que \[ \frac{n(n-1)}{2} \sum_{i < j} x_ix_j > \left(\sum^{n-1}_{i=1} (n-i)\cdot x_i \right) \cdot \left(\sum^{n}_{j=2} (j-1) \cdot x_j \right)\]

Sea $ \mathbb{Z}$ el conjunto de todos los enteros. Demostrar que para cualesquiera enteros $ A$ y $ B,$ se puede encontrar un entero $ C$ para el cual $ M_1 = \{x^2 + Ax + B : x \in \mathbb{Z}\}$ y $ M_2 = {2x^2 + 2x + C : x \in \mathbb{Z}}$ no se intersecan.

Sea $ k$ un entero positivo. Demostrar que existen infinitos cuadrados perfectos de la forma $ n \cdot 2^k - 7$ donde $ n$ es un entero positivo.

Las celdas de una matriz cuadrada de $2011 \times 2011$ están etiquetadas con los enteros $1,2,\ldots, 2011^2$ , de tal manera que cada etiqueta se usa exactamente una vez. Luego identificamos los bordes izquierdo y derecho, y luego la parte superior e inferior, de la manera normal para formar un toro (la superficie de una dona). Determine el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar qué etiquetado elijamos, existen dos celdas vecinas con la diferencia de sus etiquetas al menos $M$ . (Las celdas con coordenadas $(x,y)$ e $(x',y')$ se consideran vecinas si $x=x'$ e $y-y'\equiv\pm1\pmod{2011}$ , o si $y=y'$ e $x-x'\equiv\pm1\pmod{2011}$ . )