Para cada $n\geq 3$ , determine todas las configuraciones de $n$ puntos distintos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ en el plano, con la propiedad de que para cualquier par de puntos distintos $X_i$ , $X_j$ existe una permutación $\sigma$ de los enteros $\{1,\ldots,n\}$ , tal que $\textrm{d}(X_i,X_k) = \textrm{d}(X_j,X_{\sigma(k)})$ para todo $1\leq k \leq n$ . (Escribimos $\textrm{d}(X,Y)$ para denotar la distancia entre los puntos $X$ e $Y$ . )

Dado un entero positivo $\displaystyle n = \prod_{i=1}^s p_i^{\alpha_i}$ , escribimos $\Omega(n)$ para el número total $\displaystyle \sum_{i=1}^s \alpha_i$ de factores primos de $n$ , contados con multiplicidad. Sea $\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)}$ (entonces, por ejemplo, $\lambda(12)=\lambda(2^2\cdot3^1)=(-1)^{2+1}=-1$ ) . Demuestre las siguientes dos afirmaciones: i) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = +1$ ; ii) Hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1$ .

Un triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\omega$ . Una línea variable $\ell$ elegida paralela a $BC$ se encuentra con los segmentos $AB$ , $AC$ en los puntos $D$ , $E$ respectivamente, y se encuentra con $\omega$ en los puntos $K$ , $L$ (donde $D$ se encuentra entre $K$ y $E$ ) . El círculo $\gamma_1$ es tangente a los segmentos $KD$ y $BD$ y también tangente a $\omega$ , mientras que el círculo $\gamma_2$ es tangente a los segmentos $LE$ y $CE$ y también tangente a $\omega$ . Determinar el lugar geométrico, a medida que $\ell$ varía, del punto de encuentro de las tangentes internas comunes a $\gamma_1$ y $\gamma_2$ .

Determinar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales, con las siguientes propiedades: (1) para cada entero $k$ , el número $f(k)$ es un entero si y solo si $k$ no es divisible por $n$ ; (2) el grado de $f$ es menor que $n$ .

Demostrar que existen dos funciones $f,g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , tales que $f\circ g$ es estrictamente decreciente y $g\circ f$ es estrictamente creciente.

Cuando los números naturales se escriben uno tras otro de manera creciente, se obtiene una sucesión infinita de dígitos $123456789101112 ....$ Denotamos $A_k$ el número formado por los primeros $k$ dígitos de esta secuencia. Demostrar que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $m$ que verifica simultáneamente las siguientes tres condiciones: (i) $n$ divide a $A_m$, (ii) $n$ divide a $m$, (iii) $n$ divide a la suma de los dígitos de $A_m$.

Inicialmente se tiene el número $0$ en cada celda de la tabla $29 \times 29$. Un movimiento es cuando uno elige una sub-tabla $5 \times 5$ y suma $+1$ a cada celda de esta sub-tabla. Encontrar el valor máximo de $n$, donde después de $1000$ movimientos, hay $4$ celdas tales que sus centros son vértices de un cuadrado y la suma de estas $4$ celdas es al menos $n$. Nota: Un cuadrado no tiene, necesariamente, sus lados paralelos con los lados de la tabla.

Sea $c > 1$ un número real. Una función $f: [0 ,1 ] \to R$ se llama c-amigable si $f(0) = 0, f(1) = 1$ y $|f(x) -f(y)| \le c|x - y|$ para todos los números $x ,y \in [0,1]$. Encontrar el máximo de la expresión $|f(x) - f(y)|$ para todas las funciones c-amigables $f$ y para todos los números $x,y \in [0,1]$.

Decide si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tal que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$ , ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?