Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 2001 Problema 5
Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y suponga que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Demuestre que $ab + cd$ no es primo.
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 2001 Problema 4
Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , que satisfacen\n\[\nf(xy)(f(x) - f(y)) = (x-y)f(x)f(y)\n\] para todo $x,y$ .
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 2001 Problema 3
Sea $ABC$ un triángulo con centroide $G$. Determine, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ es un mínimo, y exprese este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 2001 Problema 2
Considere un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que sale del vértice $A$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Asuma que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Demuestre que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 2001 Problema 1
Sea $A_1$ el centro del cuadrado inscrito en el triángulo acutángulo $ABC$ con dos vértices del cuadrado en el lado $BC$. Así, uno de los dos vértices restantes del cuadrado está en el lado $AB$ y el otro está en $AC$. Los puntos $B_1, C_1$ se definen de manera similar para los cuadrados inscritos con dos vértices en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que las líneas $AA_1, BB_1, CC_1$ son concurrentes.
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1997 Problema 4
Las alturas que pasan por los vértices $ A,B,C$ de un triángulo acutángulo $ ABC$ se encuentran con los lados opuestos en $ D,E, F,$ respectivamente. La línea que pasa por $ D$ paralela a $ EF$ se encuentra con las líneas $ AC$ y $ AB$ en $ Q$ y $ R,$ respectivamente. La línea $ EF$ se encuentra con $ BC$ en $ P.$ Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $ PQR$ pasa por el punto medio de $ BC.$
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1997 Problema 3
Encuentra todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1997 Problema 2
En un triángulo acutángulo $ ABC,$ sean $ AD,BE$ las alturas y $ AP,BQ$ las bisectrices internas. Denotemos por $ I$ y $ O$ el incentro y el circuncentro del triángulo, respectivamente. Demuestra que los puntos $ D, E,$ e $ I$ son colineales si y sólo si los puntos $ P, Q,$ y $ O$ son colineales.
Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1997 Problema 1
Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestra que contiene la sexta potencia de un entero.
Olimpiada Internacional Zhautykov 2005 Problema 6
Encuentre todos los números primos $ p,q < 2005$ tales que $ q | p^{2} + 8$ y $ p|q^{2} + 8.$