¿Qué número es mayor: el número de enteros positivos que no exceden de 1000000 que pueden ser representados por la forma $2x^{2}-3y^{2}$ con $x$ e $y$ enteros o el de enteros positivos que no exceden de 1000000 que pueden ser representados por la forma $10xy-x^{2}-y^{2}$ con $x$ e $y$ enteros?

Demuestra que para todo $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ en el intervalo $(0,\pi/2)$ \[\left({1\over \sin \alpha_{1}}+{1\over \sin \alpha_{2}}+\ldots+{1\over \sin \alpha_{n}}\right) \left({1\over \cos \alpha_{1}}+{1\over \cos \alpha_{2}}+\ldots+{1\over \cos \alpha_{n}}\right) \leq\] \[\leq 2 \left({1\over \sin 2\alpha_{1}}+{1\over \sin 2\alpha_{2}}+\ldots+{1\over \sin 2\alpha_{n}}\right)^{2}.\]

El tablero de $8 \times 8$ está cubierto con la misma forma que en la imagen de la derecha (cada una de las formas se puede girar $90^o$) de modo que dos cualesquiera no se superpongan ni se extiendan más allá del borde del tablero de ajedrez. Determine el mayor número posible de campos de este tablero de ajedrez que se pueden cubrir como se describe anteriormente.

Encuentre todas las ternas $(a, k, m)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $k + a^k = m + 2a^m$.

Se da un rombo $ABCD$ con $\angle BAD = 60^o$. El punto $P$ se encuentra dentro del rombo tal que $BP = 1$, $DP = 2$, $CP = 3$. Determine la longitud del segmento $AP$.

Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $2 (n^2 + 1) - n$ no es el cuadrado de un entero.

En el círculo $k$, se dan los puntos $A,B$, mientras que $AB$ no es el diámetro del círculo $k$. El punto $C$ se mueve a lo largo del arco largo $AB$ del círculo $k$ de modo que el triángulo $ABC$ es agudo. Sean $D,E$ los pies de las alturas de $A, B$ respectivamente. Sea $F$ la proyección del punto $D$ en la línea $AC$ y $G$ la proyección del punto $E$ en la línea $BC$. (a) Demuestre que las líneas $AB$ y $FG$ son paralelas. (b) Determine el conjunto de puntos medios $S$ del segmento $FG$ mientras que a lo largo de todas las posiciones permitidas del punto $C$.

Hay muchos números reales diferentes escritos en la pizarra. Resultó que para cada dos números escritos, su producto también fue escrito. ¿Cuál es el mayor número posible de números escritos en la pizarra?

Los enteros positivos $a, b, c$ satisfacen la igualdad $a^2 + b^2 = c^2$. Demuestre que el número $\frac12(c - a) (c - b)$ es el cuadrado de un entero.

Demuestre que entre cualquiera de los $51$ vértices del polígono regular de $101$ hay tres que son los vértices de un triángulo isósceles.