Sean $K_a,K_b,K_c$ con centros $O_a,O_b,O_c$ las circunferencias exinscritas de un triángulo $ABC$ , que tocan los interiores de los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $T_a,T_b,T_c$ respectivamente. Demostrar que las rectas $O_aT_a,O_bT_b,O_cT_c$ son concurrentes en un punto $P$ para el cual $PO_a=PO_b=PO_c=2R$ se cumple, donde $R$ denota el circunradio de $ABC$ . También demostrar que el circuncentro $O$ de $ABC$ es el punto medio del segmento $PI$ , donde $I$ es el incentro de $ABC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero arbitrario. Sean los cuadrados $ABB_1A_2, BCC_1B_2, CDD_1C_2, DAA_1D_2$ construidos en el exterior del cuadrilátero. Además, sean $AA_1PA_2$ y $CC_1QC_2$ paralelogramos. Para cualquier punto arbitrario $P$ en el interior de $ABCD$ , se construyen los paralelogramos $RASC$ y $RPTQ$. Demostrar que estos dos paralelogramos tienen dos vértices en común.

Sea ${u_n}$ la sucesión de Fibonacci, es decir, $u_0=0,u_1=1,u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ para $n>1$ . Demostrar que existen infinitos números primos $p$ que dividen a $u_{p-1}$ .

Consideremos la división de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ en p rectángulos disjuntos que satisfacen las condiciones: a) cada rectángulo está formado por un número de cuadrados completos (no parciales) de los 64 y el número de cuadrados blancos es igual al número de cuadrados negros. b) los números $\ a_{1}, \ldots, a_{p}$ de cuadrados blancos de $p$ rectángulos satisfacen $a_1, , \ldots, a_p.$ Hallar el mayor valor de $p$ para el que existe tal división y entonces para ese valor de $p,$ todas las sucesiones $a_{1}, \ldots, a_{p}$ para las que podemos tener tal división.

Un recipiente cerrado con forma de paralelepípedo rectangular contiene $1$ litro de agua. Si el recipiente descansa horizontalmente sobre tres lados diferentes, el nivel del agua es de $2$ cm, $4$ cm y $5$ cm. Calcular el volumen del paralelepípedo.

Sea $x_n = \sqrt[2]{2+\sqrt[3]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}.$ Demuestra que \[x_{n+1}-x_n <\frac{1}{n!} \quad n=2,3,\cdots\]

Demostrar que no hay enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^5+y^5+1=(x+2)^5+(y-3)^5$ .

Definir la secuencia $ (a_n)$ por $ \sum_{d|n} a_d = 2^n.$ Demostrar que $ n|a_n.$

Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos y un entero positivo $a.$ La secuencia $\{a_{n}\}$ se define por $a_{1}=a,$ $a_{n+1}=f(a_{n}).$ Se sabe que el conjunto de primos que dividen al menos uno de los términos de esta secuencia es finito. Demuestra que $f(x)=cx^{k}$ para algunos enteros no negativos $c$ y $k.$

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ tenemos $AB\cdot CD=BC\cdot DA$ y $2\angle A+\angle C=180^\circ$ . El punto $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ y es el punto medio del arco $BD$ que no contiene a $A$ . Se sabe que el punto $P$ se encuentra dentro del cuadrilátero $ABCD$ . Demuestra que $\angle BCA=\angle DCP$