Determine todos los primos ternas $(a, b, c)$ que satisfacen la igualdad $a^2+ab+b^2=c^2+3$.

Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$. Los puntos $K, L, M$ son simétricos del punto $P$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$. Demuestra que las rectas $AK, BL, CM$ se intersecan en un punto.

Se coloca una ficha en cada vértice de un $2n$ -gono regular. Un movimiento consiste en elegir un lado del $2n$ -gono e intercambiar las dos fichas colocadas en los extremos de ese lado. Después de que se haya realizado un número finito de movimientos, resulta que cada dos fichas se han intercambiado exactamente una vez. Demuestre que algún lado nunca ha sido elegido.

Dado un entero positivo $k\geq2$ , sea $a_1=1$ y, para cada entero $n\geq 2$ , sea $a_n$ la solución más pequeña de la ecuación \[x=1+\sum_{i=1}^{n-1}\left\lfloor\sqrt[k]{\frac{x}{a_i}}\right\rfloor\] que excede a $a_{n-1}$ . Demuestre que todos los primos están entre los términos de la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Suponga que dos cuadriláteros convexos en el plano $P$ y $P'$ , comparten un punto $O$ tal que, para cada línea $l$ que pasa por $O$ , el segmento a lo largo del cual $l$ y $P$ se encuentran es más largo que el segmento a lo largo del cual $l$ y $P'$ se encuentran. ¿Es posible que la razón del área de $P'$ al área de $P$ sea mayor que $1.9$ ?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $\omega$ . Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en $P$ , las líneas $AD$ y $BC$ se intersecan en $Q$ , y las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en $R$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $PQ$ , y sea $K$ el punto común del segmento $MR$ y el círculo $\omega$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $KPQ$ y $\omega$ son tangentes entre sí.

¿Existe un par $(g,h)$ de funciones $g,h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que la única función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisface $f(g(x))=g(f(x))$ y $f(h(x))=h(f(x))$ para toda $x\in\mathbb{R}$ es la función identidad $f(x)\equiv x$ ?

Para un entero positivo $a$ , define una secuencia de enteros $x_1,x_2,\ldots$ definiendo $x_1=a$ y $x_{n+1}=2x_n+1$ para $n\geq 1$ . Sea $y_n=2^{x_n}-1$ . Determine el mayor valor posible de $k$ tal que, para algún entero positivo $a$ , los números $y_1,\ldots,y_k$ son todos primos.

Sea $N$ un entero positivo tal que la suma de los cuadrados de todos los divisores positivos de $N$ es igual al producto $N(N+3)$ . Demuestre que existen dos índices $i$ y $j$ tales que $N=F_iF_j$ donde $(F_i)_{n=1}^{\infty}$ es la sucesión de Fibonacci definida como $F_1=F_2=1$ y $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para $n\geq 3$ .

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos que satisfacen $a<b<c<a+b$ . Demuestre que $c(a-1)+b$ no divide a $c(b-1)+a$ .