Sea $n$ un entero positivo. Define un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ apariciones de cada una de las letras $a, b,$ y $c$. Define un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestra que para cualquier camaleón $X$, existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no puede ser cambiado a $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

Un rectángulo $\mathcal{R}$ con longitudes de lados enteros impares se divide en pequeños rectángulos con longitudes de lados enteros. Demuestra que hay al menos uno entre los pequeños rectángulos cuyas distancias desde los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares.

¿Se pueden dibujar en un círculo de radio $1$ un número de $1975$ puntos distintos, de modo que la distancia (medida en la cuerda) entre dos puntos cualesquiera (de los puntos considerados) sea un número racional?

Sea $x_0 = 5$ y $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n} \ (n = 0, 1, 2, \ldots )$ . Pruebe que \[45 < x_{1000} < 45. 1.\]

Sean $A_0,A_1, \ldots , A_n$ puntos en un plano tales que (i) $A_0A_1 \leq \frac{1}{ 2} A_1A_2 \leq \cdots \leq \frac{1}{2^{n-1} } A_{n-1}A_n$ y (ii) $0 < \measuredangle A_0A_1A_2 < \measuredangle A_1A_2A_3 < \cdots < \measuredangle A_{n-2}A_{n-1}A_n < 180^\circ,$ donde todos estos ángulos tienen la misma orientación. Pruebe que los segmentos $A_kA_{k+1},A_mA_{m+1}$ no se intersectan para cada $k$ y $n$ tales que $0 \leq k \leq m - 2 < n- 2.$

Considere en el primer cuadrante del círculo trigonométrico los arcos $AM_1 = x_1,AM_2 = x_2,AM_3 = x_3, \ldots , AM_v = x_v$ , tal que $x_1 < x_2 < x_3 < \cdots < x_v$ . Pruebe que \[\sum_{i=0}^{v-1} \sin 2x_i - \sum_{i=0}^{v-1} \sin (x_i- x_{i+1}) < \frac{\pi}{2} + \sum_{i=0}^{v-1} \sin (x_i + x_{i+1})\]

Sean $a_{1}, \ldots, a_{n}$ una secuencia infinita de enteros estrictamente positivos, tal que $a_{k} < a_{k+1}$ para cualquier $k.$ Pruebe que existe una infinidad de términos $a_{m},$ los cuales se pueden escribir como $a_m = x \cdot a_p + y \cdot a_q$ con $x,y$ enteros estrictamente positivos y $p \neq q.$

Se dan $n$ puntos de masa de igual masa en el espacio. Definimos una secuencia de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ de la siguiente manera: $O_1$ es un punto arbitrario (dentro de la distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestra que a partir de algún $m$, todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

Sean $A_r,B_r, C_r$ puntos en la circunferencia de un círculo dado $S$. Del triángulo $A_rB_rC_r$, llamado $\Delta_r$, el triángulo $\Delta_{r+1}$ se obtiene construyendo los puntos $A_{r+1},B_{r+1}, C_{r+1} $ o n $S$ tales que $A_{r+1}A_r$ es paralelo a $B_rC_r$, $B_{r+1}B_r$ es paralelo a $C_rA_r$, y $C_{r+1}C_r$ es paralelo a $A_rB_r$. Cada ángulo de $\Delta_1$ es un número entero de grados y esos enteros no son múltiplos de $45$. Demuestra que al menos dos de los triángulos $\Delta_1,\Delta_2, \ldots ,\Delta_{15}$ son congruentes.

Se da un cono recto dentro de un paralelepípedo rectangular $B$ , con el vértice en uno de los vértices, digamos $T$ , del paralelepípedo, y la base tocando las tres caras opuestas a $T .$ Su eje se encuentra en la diagonal larga que pasa por $T.$ Si $V_1$ y $V_2$ son los volúmenes del cono y el paralelepípedo respectivamente, demostrar que \[V_1 \leq \frac{\sqrt 3 \pi V_2}{27}.\]