Sea $ABCC_1B_1A_1$ un hexágono convexo tal que $AB=BC$, y suponga que los segmentos de línea $AA_1, BB_1$ y $CC_1$ tienen la misma bisectriz perpendicular. Sean las diagonales $AC_1$ y $A_1C$ se encuentran en $D$, y denotemos por $\omega$ el círculo $ABC$. Sea $\omega$ intersecta al círculo $A_1BC_1$ nuevamente en $E \neq B$. Demuestra que las líneas $BB_1$ y $DE$ se intersecan en $\omega$.

En el triángulo $ABC$, sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$. Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$, respectivamente. El círculo $AEF$ interseca la línea $BC$ en $P$ y $Q$. Sea $M$ el punto medio de $AD$. Demuestra que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La línea $OA$ interseca las altitudes de $ABC$ a través de $B$ y $C$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las altitudes se encuentran en $H$. Demuestra que el circuncentro del triángulo $PQH$ se encuentra en una mediana del triángulo $ABC$.

Sea $ p \geq 2$ un número primo. Eduardo y Fernando juegan el siguiente juego haciendo movimientos alternativamente: en cada movimiento, el jugador actual elige un índice $i$ en el conjunto $\{0,1,2,\ldots, p-1 \}$ que no fue elegido antes por ninguno de los dos jugadores y luego elige un elemento $a_i$ del conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Eduardo tiene el primer movimiento. El juego termina después de que todos los índices han sido elegidos .Luego se calcula el siguiente número: $$M=a_0+a_110+a_210^2+\cdots+a_{p-1}10^{p-1}= \sum_{i=0}^{p-1}a_i.10^i$$ . El objetivo de Eduardo es hacer que $M$ sea divisible por $p$ , y el objetivo de Fernando es evitar esto. Demuestre que Eduardo tiene una estrategia ganadora.

Hay $2017$ círculos mutuamente externos dibujados en una pizarra, de modo que no hay dos tangentes y no tres comparten una tangente común. Un segmento tangente es un segmento de línea que es una tangente común a dos círculos, comenzando en un punto tangente y terminando en el otro. Luciano está dibujando segmentos tangentes en la pizarra, uno a la vez, de modo que ningún segmento tangente interseca a ningún otro círculo o segmentos tangentes dibujados previamente. Luciano sigue dibujando segmentos tangentes hasta que no se puedan dibujar más. Encuentre todos los números posibles de segmentos tangentes cuando Luciano deja de dibujar.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene un círculo inscrito con centro $I$ . Sean $I_a, I_b, I_c$ e $I_d$ los incentros de los triángulos $DAB, ABC, BCD$ y $CDA$ , respectivamente. Suponga que las tangentes externas comunes de los círculos $AI_bI_d$ y $CI_bI_d$ se encuentran en $X$ , y las tangentes externas comunes de los círculos $BI_aI_c$ y $DI_aI_c$ se encuentran en $Y$ . Demuestre que $\angle{XIY}=90^{\circ}$ .

Sea $n\ge3$ un entero. Dos $n$-gonos regulares $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ se dan en el plano. Demuestra que los vértices de $\mathcal{A}$ que se encuentran dentro de $\mathcal{B}$ o en su frontera son consecutivos. (Es decir, demuestra que existe una línea que separa aquellos vértices de $\mathcal{A}$ que se encuentran dentro de $\mathcal{B}$ o en su frontera de los otros vértices de $\mathcal{A}$.)

Un cazador y un conejo invisible juegan un juego en el plano euclidiano. El punto de partida del conejo, $A_0,$ y el punto de partida del cazador, $B_0$ son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo está en el punto $A_{n-1}$ y el cazador está en el punto $B_{n-1}.$ En la $n^{\text{th}}$ ronda del juego, tres cosas ocurren en orden: \n\t El conejo se mueve invisiblemente a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1.$ \n\t Un dispositivo de rastreo informa un punto $P_n$ al cazador. La única garantía proporcionada por el dispositivo de rastreo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es como máximo $1.$ \n\t El cazador se mueve visiblemente a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1.$ \n\t ¿Siempre es posible, sin importar cómo se mueva el conejo y sin importar qué puntos informe el dispositivo de rastreo, que el cazador elija sus movimientos para que después de $10^9$ rondas, pueda asegurarse de que la distancia entre ella y el conejo sea como máximo $100?$

Se da un entero $N \ge 2$. Una colección de $N(N + 1)$ jugadores de fútbol, ​​ninguno de los cuales tiene la misma altura, se colocan en una fila. Sir Alex quiere eliminar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila dejando una nueva fila de $2N$ jugadores en la que se cumplen las siguientes $N$ condiciones: \n\t ( $1$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más altos, \n\t ( $2$ ) nadie se interpone entre el tercer y cuarto jugador más alto, \n\t $\vdots$ \n\t ( $N$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más bajos. \n\t Demuestra que esto siempre es posible.

Sir Alex juega el siguiente juego en una fila de 9 celdas. Inicialmente, todas las celdas están vacías. En cada movimiento, Sir Alex puede realizar exactamente una de las dos operaciones siguientes: \n\t Elegir cualquier número de la forma $2^j$, donde $j$ es un entero no negativo, y ponerlo en una celda vacía. \n\t Elegir dos celdas (no necesariamente adyacentes) con el mismo número en ellas; denotar ese número por $2^j$. Reemplazar el número en una de las celdas con $2^{j+1}$ y borrar el número en la otra celda. \n\t Al final del juego, una celda contiene $2^n$, donde $n$ es un entero positivo dado, mientras que las otras celdas están vacías. \n\t Determina el número máximo de movimientos que Sir Alex podría haber hecho, en términos de $n$.