Un número finito dado de líneas en el plano, de las cuales no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes, divide el plano en regiones finitas e infinitas. En cada región finita escribimos $1$ o $-1$ . En una operación, podemos elegir cualquier triángulo formado por tres de las líneas (que pueden ser cortadas por otras líneas en la colección) y multiplicar por $-1$ cada uno de los números en el triángulo. Determine si siempre es posible obtener $1$ en todas las regiones finitas aplicando sucesivamente esta operación, independientemente de la distribución inicial de $1$ s y $-1$ s .

El triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ tiene circuncírculo $\Gamma$ , circuncentro $O$ , y ortocentro $H$ . El punto medio de $BC$ es $M$ , y la extensión de la mediana $AM$ interseca a $\Gamma$ en $N$ . El círculo de diámetro $AM$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $A$ y $P$ . Demuestre que las líneas $AP$ , $BC$ , y $OH$ son concurrentes si y solo si $AH = HN$ .

Para cada número real positivo $a$ y $b$ demostrar la desigualdad \[\displaystyle \sqrt{ab} \leq \dfrac{1}{3} \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\dfrac{2}{3} \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}.\]

Considerar una colección de piedras cuyo peso total es de $65$ libras y cada una de cuyas piedras pesa como máximo $w$ libras. Hallar el mayor número $w$ para el cual cualquier colección de piedras puede ser dividida en dos grupos cuyos pesos totales difieren en a lo sumo una libra. Nota: Los pesos de las piedras no son necesariamente enteros.

En el triángulo $ABC$, donde $AB<AC$, sean $X$, $Y$, $Z$ los puntos donde la circunferencia inscrita es tangente a $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. En la circunferencia circunscrita de $ABC$, sea $U$ el punto medio del arco $BC$ que contiene al punto $A$. La línea $UX$ se encuentra con la circunferencia circunscrita nuevamente en el punto $K$. Sea $T$ el punto de intersección de $AK$ y $YZ$. Demostrar que $XT$ es perpendicular a $YZ$.

¿Se pueden particionar los enteros positivos en $12$ subconjuntos tales que para cada entero positivo $k$, los números $k, 2k,\ldots,12k$ pertenecen a diferentes subconjuntos?

Demuestre que existe una $c$ positiva tal que para cada entero positivo $N$ entre cualquier $N$ enteros positivos que no excedan $2N$ hay dos números cuyo máximo común divisor es mayor que $cN$ .

Varios caballeros están dispuestos en un tablero de ajedrez infinito. Ningún cuadrado es atacado por más de un caballero (en particular, un cuadrado ocupado por un caballero puede ser atacado por un caballero pero no por dos). Sasha esbozó un rectángulo de $ 14\times 16$. ¿Qué número máximo de caballeros puede contener este rectángulo?

Se elige el punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ . El punto $L$ dentro del triángulo $ABC$ es tal que $BD=LD$ y $ \angle LAB=\angle LCA=\angle DCB$ . Se sabe que $ \angle ALD+\angle ABC=180^\circ$ . Demuestre que $ \angle BLC=90^\circ$ .

¿Qué número mínimo de colores es suficiente para colorear todos los números reales positivos de modo que cada dos números cuya razón es 4 u 8 tengan colores diferentes?