Demostrar que \[\frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}},\] y sea $n \geq 1$ un entero. Demostrar que esta desigualdad solo es posible en el caso $n = 1.$

Demostrar que todos los números de la secuencia \[ \frac{107811}{3}, \quad \frac{110778111}{3}, \frac{111077781111}{3}, \quad \ldots \] son cubos exactos.

Dado un entero positivo $N$, determine todos los enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: para cualquier lista $d_1,d_2,\ldots,d_k$ de divisores de $n$ (no necesariamente distintos) tal que $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \ldots + \frac{1}{d_k} > N$, algunas de las fracciones $\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \ldots, \frac{1}{d_k}$ suman exactamente $N$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro, respectivamente, y sean $S$ y $T$ los pies de las alturas desde $B$ a $AC$ y desde $C$ a $AB$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $ST$, y sea $N$ el punto medio del segmento $AH$. La recta que pasa por $O$, paralela a $BC$, cruza los lados $AC$ y $AB$ en $F$ y $G$, respectivamente. La recta $NG$ se encuentra con el círculo $BGO$ nuevamente en $K$, y la recta $NF$ se encuentra con el círculo $CFO$ nuevamente en $L$. Demuestre que los triángulos $BCM$ y $KLN$ son similares.

Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ con $\angle BAC > 90^{\circ}$ y $AB > AC$. Las tangentes de $\Omega$ en $B$ y $C$ se cruzan en $D$ y la tangente de $\Omega$ en $A$ cruza la recta $BC$ en $E$. La recta que pasa por $D$, paralela a $AE$, cruza la recta $BC$ en $F$. El círculo con diámetro $EF$ se encuentra con la recta $AB$ en $P$ y $Q$ y la recta $AC$ en $X$ y $Y$. Demuestre que uno de los ángulos $\angle AEB$, $\angle PEQ$, $\angle XEY$ es igual a la suma de los otros dos.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta que pasa por $I$, perpendicular a $AI$, interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Resulta que existe un punto $T$ en el lado $BC$ tal que $AB + BT = AC + CT$ y $AT^2 = AB \cdot AC$. Determine todos los valores posibles de la razón $IP/IQ$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una línea a través de $C$ cruza el lado $AB$ en un punto interior $X$, y la línea $AD$ en $Y$. Las tangentes del círculo $AXY$ en $X$ e $Y$, respectivamente, se cruzan en $T$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $TXY$ se intersecan en dos puntos, uno que está en la línea $AT$ y el otro que está en la línea $CT$.

Fijar un entero positivo $n$ y un grafo finito con al menos una arista; los extremos de cada arista son distintos, y cualesquiera dos vértices están unidos por a lo más una arista. Vértices y aristas son asignados (no necesariamente distintos) números en el rango desde $0$ hasta $n-1$, un número cada uno. Una asignación de vértices y una asignación de aristas son compatibles si la siguiente condición se satisface en cada vértice $v$: El número asignado a $v$ es congruente módulo $n$ a la suma de los números asignados a las aristas incidentes a $v$. Fijar una asignación de vértices y sea $N$ el número total de asignaciones de aristas compatibles; la compatibilidad se refiere, por supuesto, a la asignación de vértices fija. Demostrar que, si $N \neq 0$, entonces los divisores primos de $N$ son todos a lo más $n$.

Determinar el entero más grande $n\geq 3$ para el cual las aristas del grafo completo en $n$ vértices pueden ser asignadas con enteros no negativos, distintos por pares, tal que las aristas de cada triángulo tengan números que forman una progresión aritmética.

Una secuencia infinita $x_1,x_2,\ldots$ de enteros positivos satisface \[ x_{n+2}=\gcd(x_{n+1},x_n)+2006 \] para cada entero positivo $n$ . ¿Existe tal secuencia que contenga exactamente $10^{2006}$ números distintos?