En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , las extensiones de los lados $AB$ y $CD$ se encuentran en el punto $P$ , y las extensiones de los lados $AD$ y $BC$ se encuentran en el punto $Q$ . Demuestra que la distancia entre los ortocentros de los triángulos $APD$ y $AQB$ es igual a la distancia entre los ortocentros de los triángulos $CQD$ y $BPC$ .

Para un entero positivo $n$ dado, se sabe que existen $2010$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por $n$ pero su producto es divisible por $n$ . Demuestra que existen $2004$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por $n$ pero su producto es divisible por $n$ .

El barón Münchausen se jacta de que conoce un trinomio cuadrático notable con coeficientes positivos. El trinomio tiene una raíz entera; si todos sus coeficientes se incrementan en $1$ , el trinomio resultante también tiene una raíz entera; y si todos sus coeficientes también se incrementan en $1$ , el nuevo trinomio, también, tiene una raíz entera. ¿Puede ser esto cierto?

Una línea $l$ se dibuja a través del punto de intersección $H$ de las alturas de triángulos acutángulos. Demuestra que las imágenes simétricas $l_a, l_b, l_c$ de $l$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ tienen un punto en común, que se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC.$

Dados los triángulos acutángulos $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$. Describe y demuestra cómo construir el triángulo $ABC$ con el área más grande posible que esté circunscrito sobre $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contenga a $B_0$, $CA$ contenga a $B_0$ y $AB$ contenga a $C_0$) y sea similar a $A_1B_1C_1$.

En una reunión deportiva se entregaron un total de $m$ medallas durante $n$ días. El primer día se entregó una medalla y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes. El segundo día se entregaron dos medallas y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes, y así sucesivamente. El último día, se entregaron las $n$ medallas restantes. ¿Cuántos días duró la reunión, y cuál fue el número total de medallas?

Resolver el sistema de ecuaciones: $\n\begin{matrix}\n|x+y| + |1-x| = 6 \\\n|x+y+1| + |1-y| = 4.\n\end{matrix}\n$

Resolver el sistema de ecuaciones: $ \n\begin{matrix} \nx^2 + x - 1 = y \\ y^2 + y - 1 = z \\ z^2 + z - 1 = x.\n\end{matrix}\n$

Suponga que las medianas $m_a$ y $m_b$ de un triángulo son ortogonales. Demostrar que:\n(a) Las medianas del triángulo corresponden a los lados de un triángulo rectángulo.\n(b) Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados del triángulo, entonces, se cumple la siguiente desigualdad: \[5(a^2+b^2-c^2)\geq 8ab\]

Demostrar la desigualdad trigonométrica $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16},$ cuando $x \in \left(0, \frac{\pi}{2} \right).$