Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos relativamente primos $m,n$ con $n$ par y $m < n.$ Para $s = (m,n) \in S$ escriba $n = 2^k \cdot n_o$ donde $k, n_0$ son enteros positivos con $n_0$ impar y defina \[ f(s) = (n_0, m + n - n_0). \] Demuestre que $f$ es una función de $S$ a $S$ y que para cada $s = (m,n) \in S,$ existe un entero positivo $t \leq \frac{m+n+1}{4}$ tal que \[ f^t(s) = s, \] donde \[ f^t(s) = \underbrace{ (f \circ f \circ \cdots \circ f) }_{t \text{ times}}(s). \] Si $m+n$ es un número primo que no divide $2^k - 1$ para $k = 1,2, \ldots, m+n-2,$ demuestre que el valor más pequeño $t$ que satisface las condiciones anteriores es $\left [\frac{m+n+1}{4} \right ]$ donde $\left[ x \right]$ denota el mayor entero $\leq x.$

Demuestre que para cualquier conjunto finito $S$ de enteros positivos distintos, podemos encontrar un conjunto $T \supseteq S$ tal que cada miembro de $T$ divide la suma de todos los miembros de $T$.

Sean $a,b,n$ enteros positivos, $b > 1$ y $b^n-1\mid a$. Demuestre que la representación del número $a$ en la base $b$ contiene al menos $n$ dígitos diferentes de cero.

Un número natural $n$ se dice que tiene la propiedad $P$, si, para todo $a, n^2$ divide a $a^n - 1$ siempre que $n$ divide a $a^n - 1$. a.) Demuestre que todo número primo $n$ tiene la propiedad $P$. b.) Demuestre que hay infinitos números compuestos $n$ que poseen la propiedad $P$.

Define una secuencia $\langle f(n)\rangle^{\infty}_{n=1}$ de enteros positivos por $f(1) = 1$ y\n\[f(n) = \n\begin{cases} f(n-1) - n & \text{ si } f(n-1) > n;\\ f(n-1) + n & \text{ si } f(n-1) \leq n,\n\end{cases}\n\]\npara $n \geq 2.$ Sea $S = \{n \in \mathbb{N} \;\mid\; f(n) = 1993\}.$ (i) Demuestra que $S$ es un conjunto infinito. (ii) Encuentra el entero positivo más pequeño en $S.$ (iii) Si todos los elementos de $S$ están escritos en orden ascendente como\n\[ n_1 < n_2 < n_3 < \ldots ,\n\]\nmuestra que\n\[ \lim_{i\rightarrow\infty} \frac{n_{i+1}}{n_i} = 3.\n\]

Suponga que tres círculos están mutuamente fuera uno del otro con la propiedad de que cada línea que separa dos de ellos tiene intersección con el interior del tercero. Pruebe que la suma de las distancias por pares entre sus centros es como máximo $2\sqrt{2}$ veces la suma de sus radios. (Una línea separa dos círculos, siempre que los círculos no tengan intersección con la línea y estén en diferentes lados de ella.) Nota. Los resultados más débiles con $2\sqrt{2}$ reemplazados por algún otro $c$ pueden recibir puntos dependiendo del valor de $c>2\sqrt{2}$

$25$ pequeños burros están de pie en una fila; el más a la derecha de ellos es Igor. Winnie-the-Pooh quiere dar un globo de uno de los siete colores del arco iris a cada burro, de modo que los burros sucesivos reciban globos de diferentes colores, y de modo que al menos un globo de cada color se dé a algún burro. Igor quiere dar a cada uno de los $24$ burros restantes una olla de uno de los seis colores del arco iris (excepto el rojo), de modo que al menos una olla de cada color se dé a algún burro (pero los burros sucesivos pueden recibir ollas del mismo color). ¿Cuál de los dos amigos tiene más formas de implementar su plan, y cuántas veces más? Igor es un personaje de los libros de Winnie-the-Pooh de A. A. Milne. Generalmente se le representa como un burro de peluche viejo, gris, deprimido, pesimista y sombrío, que es amigo del personaje titular, Winnie-the-Pooh. Su nombre es una representación onomatopéyica del sonido de rebuzno hecho por un burro normal. Por supuesto, Winnie-the-Pooh es un oso antropomórfico ficticio.

Un círculo está contenido en un cuadrilátero con lados sucesivos de longitudes $3,6,5$ y $8$. Demuestre que la longitud de su radio es menor que $3$.

Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación: \\[{1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}\]

Los vértices de un $2012$-gono regular están etiquetados $A_1,A_2,\ldots, A_{2012}$ en algún orden. Se sabe que si $k+\ell$ y $m+n$ dejan el mismo residuo cuando se dividen por $2012$, entonces las cuerdas $A_kA_{\ell}$ y $A_mA_n$ no tienen puntos en común. Vasya camina alrededor del polígono y ve que los dos primeros vértices están etiquetados $A_1$ y $A_4$. ¿Cómo está etiquetado el décimo vértice?