Los enteros no divisibles por $2012$ están dispuestos en los arcos de un grafo orientado. Llamamos peso de un vértice a la diferencia entre la suma de los números en los arcos que entran en él y la suma de los números en los arcos que salen de él. Se sabe que el peso de cada vértice es divisible por $2012$. Demuestre que se pueden disponer enteros no nulos con valores absolutos que no excedan $2012$ en los arcos de este grafo, de modo que el peso de cada vértice sea cero.

Demuestre que para cualquier número real $a,b,c$ que satisfaga $abc = 1$, la siguiente desigualdad se cumple \[\dfrac{1} {2a^2+b^2+3}+\dfrac {1} {2b^2+c^2+3}+\dfrac{1} {2c^2+a^2+3}\leq \dfrac {1} {2}.\]

El cuadrilátero $ABCD$ es cíclico y circunscrito. Su incírculo toca sus lados $AB$ y $CD$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Las perpendiculares a $AB$ y $CD$ trazadas en $A$ y $D$, respectivamente, se encuentran en el punto $U$; las trazadas en $X$ e $Y$ se encuentran en el punto $V$, y finalmente, las trazadas en $B$ y $C$ se encuentran en el punto $W$. Demuestre que los puntos $U$, $V$ y $W$ son colineales.

Resuelva en enteros positivos la siguiente ecuación: \\[{1\over n^2}-{3\over 2n^3}={1\over m^2}\]

Sea $ \mathbb{N}$ denote el conjunto de todos los enteros positivos. Pruebe que existe una función única $ f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ que satisface \[ f(m + f(n)) = n + f(m + 95) \] para todos $ m$ y $ n$ en $ \mathbb{N}.$ ¿Cuál es el valor de $ \sum^{19}_{k = 1} f(k)?$

Para enteros positivos $ n,$ los números $ f(n)$ se definen inductivamente como sigue: $ f(1) = 1,$ y para cada entero positivo $ n,$ $ f(n+1)$ es el entero más grande $ m$ tal que existe una progresión aritmética de enteros positivos $ a_1 < a_2 < \ldots < a_m = n$ para la cual \[ f(a_1) = f(a_2) = \ldots = f(a_m).\] Pruebe que existen enteros positivos $ a$ y $ b$ tales que $ f(an+b) = n+2$ para cada entero positivo $ n.$

Suponga que $ x_1, x_2, x_3, \ldots$ son números reales positivos para los cuales \[ x^n_n = \sum^{n-1}_{j=0} x^j_n\] para $ n = 1, 2, 3, \ldots$ Pruebe que $ \forall n,$ \[ 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq x_n < 2 - \frac{1}{2^n}.\]

Para un entero $x \geq 1$ , sea $p(x)$ el primo más pequeño que no divide a $x$ , y defina $q(x)$ como el producto de todos los primos menores que $p(x)$ . En particular, $p(1) = 2.$ Para $x$ teniendo $p(x) = 2$ , defina $q(x) = 1$ . Considere la secuencia $x_0, x_1, x_2, \ldots$ definida por $x_0 = 1$ y \[ x_{n+1} = \frac{x_n p(x_n)}{q(x_n)} \] para $n \geq 0$ . Encuentre todos los $n$ tales que $x_n = 1995$ .

Encuentre el valor máximo de $ x_{0}$ para el cual existe una secuencia $ x_{0},x_{1}\cdots ,x_{1995}$ de reales positivos con $ x_{0} = x_{1995}$ , tal que \[ x_{i - 1} + \frac {2}{x_{i - 1}} = 2x_{i} + \frac {1}{x_{i}}, \] para todo $ i = 1,\cdots ,1995$ .

¿Existe una secuencia $ F(1), F(2), F(3), \ldots$ de enteros no negativos que satisfaga simultáneamente las siguientes tres condiciones? (a) Cada uno de los enteros $ 0, 1, 2, \ldots$ aparece en la secuencia. (b) Cada entero positivo aparece en la secuencia infinitamente a menudo. (c) Para cualquier $ n \geq 2,$ \[ F(F(n^{163})) = F(F(n)) + F(F(361)).\]