En el plano se nos da un conjunto $E$ de 1991 puntos, y ciertos pares de estos puntos están unidos con un camino. Suponemos que para cada punto de $E,$ existen al menos 1593 otros puntos de $E$ a los que está unido por un camino. Demostrar que existen seis puntos de $E$ cada par de los cuales están unidos por un camino. Versión alternativa: ¿Es posible encontrar un conjunto $E$ de 1991 puntos en el plano y caminos que unen ciertos pares de los puntos en $E$ tal que cada punto de $E$ está unido con un camino a al menos 1592 otros puntos de $E,$ y en cada subconjunto de seis puntos de $E$ existen al menos dos puntos que no están unidos?

Sea $S$ un conjunto de $n$ puntos en el plano. No hay tres puntos de $S$ que sean colineales. Demostrar que existe un conjunto $P$ que contiene $2n - 5$ puntos que satisfacen la siguiente condición: En el interior de cada triángulo cuyos tres vértices son elementos de $S$ se encuentra un punto que es un elemento de $P.$

Sea $ABCD$ un tetraedro: $AD+BD=AC+BC,$ $BD+CD=BA+CA,$ $CD+AD=CB+AB,$ $M,N,P$ son los puntos medios de $BC,CA,AB.$ $OA=OB=OC=OD.$ Demostrar que $ \angle MOP = \angle NOP =\angle NOM.$

En el triángulo $ ABC,$ con $ \angle A = 60 ^{\circ},$ una paralela $ IF$ a $ AC$ se dibuja a través del incentro $ I$ del triángulo, donde $ F$ se encuentra en el lado $ AB.$ El punto $ P$ en el lado $ BC$ es tal que $ 3BP = BC.$ Demuestre que $ \angle BFP = \frac{\angle B}{2}.$

Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestre que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual a $ 30^{\circ }$ .

Sea $ S$ cualquier punto en el círculo circunscrito de $ PQR.$ Entonces los pies de las perpendiculares desde S a los tres lados del triángulo se encuentran en la misma línea recta. Denotemos esta línea por $ l(S, PQR).$ Suponga que el hexágono $ ABCDEF$ está inscrito en un círculo. Demuestre que las cuatro líneas $ l(A,BDF),$ $ l(B,ACE),$ $ l(D,ABF),$ y $ l(E,ABC)$ se intersecan en un punto si y solo si $ CDEF$ es un rectángulo.

$ ABC$ es un triángulo acutángulo. $ M$ es el punto medio de $ BC$ y $ P$ es el punto en $ AM$ tal que $ MB = MP$ . $ H$ es el pie de la perpendicular desde $ P$ a $ BC$ . Las líneas que pasan por $ H$ perpendiculares a $ PB$ , $ PC$ se encuentran con $ AB, AC$ respectivamente en $ Q, R$ . Demuestre que $ BC$ es tangente al círculo que pasa por $ Q, H, R$ en $ H$ . Formulación original: Para un triángulo agudo $ ABC, M$ es el punto medio del segmento $ BC, P$ es un punto en el segmento $ AM$ tal que $ PM = BM, H$ es el pie de la línea perpendicular desde $ P$ a $ BC, Q$ es el punto de intersección del segmento $ AB$ y la línea que pasa por $ H$ que es perpendicular a $ PB,$ y finalmente, $ R$ es el punto de intersección del segmento $ AC$ y la línea que pasa por $ H$ que es perpendicular a $ PC.$ Demuestre que la circunferencia de $ QHR$ es tangente al lado $ BC$ en el punto $ H.$

Dado un punto $ P$ dentro de un triángulo $ \triangle ABC$ . Sean $ D$ , $ E$ , $ F$ las proyecciones ortogonales del punto $ P$ en los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sean las proyecciones ortogonales del punto $ A$ en las líneas $ BP$ y $ CP$ $ M$ y $ N$ , respectivamente. Demuestre que las líneas $ ME$ , $ NF$ , $ BC$ son concurrentes. Formulación original: Sea $ ABC$ cualquier triángulo y $ P$ cualquier punto en su interior. Sean $ P_1, P_2$ los pies de las perpendiculares desde $ P$ a los dos lados $ AC$ y $ BC.$ Dibuje $ AP$ y $ BP,$ y desde $ C$ deje caer perpendiculares a $ AP$ y $ BP.$ Sean $ Q_1$ y $ Q_2$ los pies de estas perpendiculares. Demuestre que las líneas $ Q_1P_2,Q_2P_1,$ y $ AB$ son concurrentes.

Sean $x, y$ y $k$ tres enteros positivos. Demostrar que existe un entero positivo $N$ y un conjunto de $k + 1$ enteros positivos $\{b_0,b_1, b_2, ... ,b_k\}$, tal que, para cada $i = 0, 1, ... , k$, la expansión $b_i$ - aria de $N$ es un palíndromo de $3$ dígitos, y la expansión $b_0$ - aria es exactamente $\overline{\mbox{xyx}}$ .

Para cada entero positivo $k$, sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Demostrar que existe un entero $k$, sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$