Llamamos a un conjunto $ S$ en la recta real $ \mathbb{R}$ superinvariante si para cualquier estiramiento $ A$ del conjunto por la transformación que lleva $ x$ a $ A(x) = x_0 + a(x - x_0), a > 0$ existe una traslación $ B,$ $ B(x) = x+b,$ tal que las imágenes de $ S$ bajo $ A$ y $ B$ coinciden; i.e., para cualquier $ x \in S$ existe un $ y \in S$ tal que $ A(x) = B(y)$ y para cualquier $ t \in S$ existe un $ u \in S$ tal que $ B(t) = A(u).$ Determinar todos los conjuntos superinvariantes.

Se dice que una secuencia infinita $ \,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ de números reales es acotada si existe una constante $ \,C\,$ tal que $ \, \vert x_{i} \vert \leq C\,$ para cada $ \,i\geq 0$ . Dado cualquier número real $ \,a > 1,\,$ construir una secuencia infinita acotada $ x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \,$ tal que \[ \vert x_{i} - x_{j} \vert \vert i - j \vert^{a}\geq 1 \]\npara cada par de enteros no negativos distintos $ i, j$ .

Determinar el valor máximo de la suma \[ \sum_{i < j} x_ix_j (x_i + x_j) \]\nsobre todas las $ n -$ tuplas $ (x_1, \ldots, x_n),$ que satisfacen $ x_i \geq 0$ y $ \sum^n_{i = 1} x_i = 1.$

Sea $ n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ y sean $ p, a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$ que satisfacen $ \frac{1}{2} \leq p \leq 1,$ $ 0 \leq a_i,$ $ 0 \leq b_i \leq p,$ $ i = 1, \ldots, n,$ y \[ \sum^n_{i=1} a_i = \sum^n_{i=1} b_i.\] Demuestra la desigualdad: \[ \sum^n_{i=1} b_i \prod^n_{j = 1, j \neq i} a_j \leq \frac{p}{(n-1)^{n-1}}.\]

Suponga que $ n \geq 2$ y $ x_1, x_2, \ldots, x_n$ son números reales entre 0 y 1 (inclusive). Demuestra que para algún índice $ i$ entre $ 1$ y $ n - 1$ la desigualdad \[ x_i (1 - x_{i+1}) \geq \frac{1}{4} x_1 (1 - x_{n})\]

Un entero impar $ n \ge 3$ se dice que es 'agradable' si y solo si existe al menos una permutación $ a_{1}, \cdots, a_{n}$ de $ 1, \cdots, n$ tal que las $ n$ sumas $ a_{1} - a_{2} + a_{3} - \cdots - a_{n - 1} + a_{n}$ , $ a_{2} - a_{3} + a_{3} - \cdots - a_{n} + a_{1}$ , $ a_{3} - a_{4} + a_{5} - \cdots - a_{1} + a_{2}$ , $ \cdots$ , $ a_{n} - a_{1} + a_{2} - \cdots - a_{n - 2} + a_{n - 1}$ son todas positivas. Determina el conjunto de todos los enteros 'agradables'.

Sean $ f$ y $ g$ dos funciones con valores enteros definidas en el conjunto de todos los enteros tales que\n(a) $ f(m + f(f(n))) = -f(f(m+ 1) - n$ para todos los enteros $ m$ y $ n;$\n(b) $ g$ es una función polinómica con coeficientes enteros y $ g(n) = g(f(n))$ $ \forall n \in \mathbb{Z}.$

Las constantes reales $ a, b, c$ son tales que existe exactamente un cuadrado todos cuyos vértices se encuentran en la curva cúbica $ y = x^3 + ax^2 + bx + c.$ Demuestra que el cuadrado tiene lados de longitud $ \sqrt[4]{72}.$

Sea $f(x)$ un polinomio mónico de grado $1991$ con coeficientes enteros. Define $g(x) = f^2(x) - 9.$ Muestra que el número de soluciones enteras distintas de $g(x) = 0$ no puede exceder a $1995.$

Sea $ \alpha$ la raíz positiva de la ecuación $ x^{2} = 1991x + 1$. Para números naturales $m$ y $n$ define \[ m*n = mn + \lfloor\alpha m \rfloor \lfloor \alpha n\rfloor. \] Demuestra que para todos los números naturales $p$ , $q$ , y $r$ , \[ (p*q)*r = p*(q*r). \]