1 Dados números naturales $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ coprimos dos a dos tales que $ xy + yz + zt = xt $. Demuestre que la suma de los cuadrados de dos de estos números es el doble de la suma de los cuadrados de los dos restantes.

1 Encuentre todos los pares de números positivos tales que la última cifra de su suma sea 3, su diferencia sea un número primo y su producto sea un cuadrado perfecto.

1 Sea $$\mathcal{S} :=\{g| g \hspace{0.1cm} \text{es una función } \hspace{0.1cm} C^{2026} \hspace{0.1cm} \text{en} \hspace{0.1cm} \mathbb{R} \hspace{0.1cm} \text{tal que} \hspace{0.1cm}g^{(2026)}(x)=g(g(x))\}$$ Aquí $g^{(2026)}$ es la derivada $2026$-ésima de $g$. Suponga que para $f \in \mathcal{S}$ se da que $f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0 \hspace{0.1cm} \forall \hspace{0.1cm} n \in \mathbb{N},$ ¿cuál es el valor de $f(e+\pi)?$

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.

2 Sea $m_1<m_2<\cdots<m_s$ una sucesión de $s\ge2$ enteros positivos, ninguno de los cuales puede escribirse como la suma de (dos o más) otros números distintos de la sucesión. Para todo entero $r$ con $1\le r<s$, demuestre que \[ r\cdot m_r+m_s ~\ge~ (r+1)(s-1). \] (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Encuentre todas las representaciones posibles de $2022$ como una suma de al menos dos enteros positivos consecutivos y demuestre que estas son las únicas representaciones.

3 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $x,y,z$ para los cuales la suma de los dígitos en la representación decimal de $~4x^4+y^4-z^2+4xyz$ $~$ es a lo sumo $2$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo con ángulo $\angle CAB=60^{\circ}$, sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ y el lado $BC$, y sean $r_B,r_C,r$ los radios respectivos de los incírculos de $ABD$, $ADC$, $ABC$. Sean $b$ y $c$ las longitudes de los lados $AC$ y $AB$ del triángulo. Demuestre que \[ \frac{1}{r_B} +\frac{1}{r_C} ~=~ 2\cdot\left( \frac1r +\frac1b +\frac1c\right)\]

5 Una tortuga camina $60$ metros por hora y un lagarto camina a $240$ metros por hora. Existe un rectángulo $ABCD$ donde $AB =60$ y $AD =120$. Ambos comienzan desde el vértice $A$ y en la misma dirección ($A \to B \to D \to A$), recorriendo el borde del rectángulo. El lagarto tiene el hábito de avanzar dos lados consecutivos del rectángulo, girar para retroceder uno, girar para avanzar dos, girar para retroceder uno y así sucesivamente. ¿Cuántas veces y en qué lugares se encuentran la tortuga y el lagarto cuando la tortuga completa su tercera vuelta?

2 Sea $P$ el producto de todos los polinomios ciclotómicos mónicos de grado $24$. Defina el operador $T_{2}(L(z)):= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} (z-\alpha_{i}^{2})$ para todo entero positivo $N$ y para cada $L(z):= \displaystyle \prod_{i=1}^{N} (z-\alpha_{i})$. Encuentre el entero más pequeño $k \ge 0$ tal que $T_{2}^{k}(P)=T_{2}^{k+1}(P)$.