1 Sea $n\geq 3$ un entero positivo. Alice y Bob juegan un juego en el que se turnan para colorear los vértices de un $n$-gono regular. Alice realiza el primer movimiento. Inicialmente, ningún vértice está coloreado. Ambos jugadores comienzan el juego con $0$ puntos. En su turno, un jugador colorea un vértice $V$ que no ha sido coloreado y gana $k$ puntos, donde $k$ es el número de vértices adyacentes a $V$ que ya están coloreados. (Por lo tanto, $k$ es $0$, $1$ o $2$). El juego termina cuando todos los vértices han sido coloreados y el jugador con más puntos gana; si tienen la misma cantidad de puntos, nadie gana. Determine todos los $n\geq 3$ para los cuales Alice tiene una estrategia ganadora y todos los $n\geq 3$ para los cuales Bob tiene una estrategia ganadora.

Calvin y Hobbes eligen alternativamente (Calvin primero) $2026$ enteros $(x_{k})_{k=1}^{2026} \ge n\ge 1$. Sea $\mathcal{C_{k}}$ el círculo en el plano que pasa por el origen con centro $\left(\frac{1}{x_{k}},0\right)$. La señorita Wormwood elige un punto $T$ al azar que se encuentra fuera del círculo más pequeño y dentro del círculo más grande. Sea $q$ el menor entero tal que $T$ se encuentra fuera de $\mathcal{C_{q}}$. Calvin gana si $x_{q}$ fue elegido por él. Hobbes gana en caso contrario. Encuentre la suma de todos los valores posibles de $n \leqslant 2026$ para los cuales Hobbes tiene una estrategia para tener una mayor probabilidad de ganar.

1 Sea $$\mathcal{S} :=\{g| g \hspace{0.1cm} \text{es una función } \hspace{0.1cm} C^{2026} \hspace{0.1cm} \text{en} \hspace{0.1cm} \mathbb{R} \hspace{0.1cm} \text{tal que} \hspace{0.1cm}g^{(2026)}(x)=g(g(x))\}$$ Aquí $g^{(2026)}$ es la derivada $2026$-ésima de $g$. Suponga que para $f \in \mathcal{S}$ se da que $f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0 \hspace{0.1cm} \forall \hspace{0.1cm} n \in \mathbb{N},$ ¿cuál es el valor de $f(e+\pi)?$

1 Pedro tiene una baraja de $1001$ cartas, y con un bolígrafo azul ha escrito los números $1, 2, \ldots, 1001$ en las cartas (un número en cada carta). Colocó las cartas en un círculo de manera que los números azules quedaran en la cara inferior de la carta. Luego, para cada carta $C$, tomó $500$ cartas consecutivas que siguen a $C$ (en sentido horario) y denotó por $f(C)$ la cantidad de números azules escritos en esas $500$ cartas que son mayores que el número azul escrito en la propia carta $C$. Finalmente, escribió este número $f(C)$ en la cara superior de la carta $C$ con un bolígrafo rojo. Demuestre que el amigo de Pedro, Basilio, quien ve todos los números rojos en estas cartas, puede determinar el número azul de cada carta.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^\circ$. Una recta que une el punto medio de su altura $CH$ y el vértice $A$ corta a $CB$ en el punto $K$. Sea $L$ el punto medio de $BC$, y $T$ un punto del segmento $AB$ tal que $\angle ATK=\angle LTB$. Se sabe que $BC=1$. Encuentre el perímetro del triángulo $KTL$.

2 Sean $A$ y $B$ los dos focos de una elipse y sea $P$ un punto en dicha elipse. Demuestre que los radios focales de $P$ (es decir, los segmentos $\overline{AP}$ y $\overline{BP}$) forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en $P$.

4 Determine todos los pares $(h,s)$ de enteros positivos con la siguiente propiedad: Si se trazan $h$ líneas horizontales y otras $s$ líneas que satisfacen (i) no son horizontales, (ii) no hay dos de ellas que sean paralelas, (iii) no hay tres de las $h + s$ líneas que sean concurrentes, entonces el número de regiones formadas por estas $h + s$ líneas es 1992.

6 Varias servilletas rectangulares azules y verdes (quizás de diferentes tamaños) con lados verticales y horizontales fueron colocadas en el plano. Resultó que cualesquiera dos servilletas de diferentes colores pueden ser atravesadas por una línea vertical u horizontal (quizás a lo largo del borde). Demuestre que es posible elegir un color, dos líneas horizontales y una línea vertical, de tal manera que cada servilleta del color elegido sea intersectada por al menos una de las líneas elegidas.

4 Ana y Bruno tienen un tablero de ajedrez de $8 \times 8$. Ana pinta cada uno de los $64$ cuadrados con algún color. Luego, Bruno elige dos filas y dos columnas del tablero y observa los $4$ cuadrados donde se intersecan. El objetivo de Bruno es que estos $4$ cuadrados sean del mismo color. ¿Cuántos colores, como mínimo, debe usar Ana para que Bruno no pueda cumplir su objetivo? Demuestre cómo se puede pintar el tablero con esta cantidad de colores y explique por qué, si se usan menos colores, Bruno siempre puede cumplir su objetivo.

3 Elija nueve de los dígitos del $0$ al $9$ y colóquelos en las casillas de la figura de modo que no haya dígitos repetidos y la suma indicada sea correcta. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/2/7f06575ec70eb9ddd58c6cf9dd3cb60d306e7c.png ¿Qué dígito no se utilizó? ¿Puede completar las casillas de modo que el dígito no utilizado sea otro?