2 Para un conjunto finito $E$ de cardinalidad $n \geq 3$, sea $f(n)$ el número máximo de subconjuntos de $3$ elementos de $E$, tales que cualesquiera dos de ellos tengan exactamente un elemento en común. Calcule $f(n)$. Amir

2 Hay $4950$ hormigas. Suponga que, para cualesquiera tres hormigas $A, B$ y $C$, si la hormiga $A$ es la jefa de la hormiga $B$, y la hormiga $B$ es la jefa de la hormiga $C$, entonces la hormiga $A$ también es la jefa de la hormiga $C$. Queremos dividir las hormigas en $n$ grupos de modo que, en cualquier grupo, o bien cualesquiera dos hormigas tengan una relación de jefatura o bien cualesquiera dos hormigas no tengan una relación de jefatura. Encuentre el valor más pequeño de $n$ que siempre podemos lograr en cualquier caso.

2 Sea $ABCD$ un trapecio con lados paralelos $AB > CD$. Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos de recta $AB$ y $CD$, respectivamente, de tal manera que $AK/KB=DL/LC$. Suponga que existen puntos $P$ y $Q$ en el segmento de recta $KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $B$ y $C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,i} + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i} + a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentre la matriz M. Amir

3 ¿Es posible particionar el espacio euclidiano tridimensional en $1979$ subconjuntos mutuamente isométricos? Amir

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. El rayo $AD$ corta al rayo $BC$ en $P$. Sean $O, O'$ los circuncentros de los triángulos $PCD$ y $PAB$, respectivamente, y sean $H, H'$ los ortocentros de los triángulos $PCD$ y $PAB$, respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $DOC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AO'B$ si y solo si el circuncírculo del triángulo $DHC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AH'B$.

4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de esta última alternativa? Amir

8 La sucesión $(a_n)$ de números reales se define de la siguiente manera: \[a_1=1, \qquad a_2=2, \quad \text{y} \quad a_n=3a_{n-1}-a_{n-2} , \ \ n \geq 3.\] Demuestre que para $n \geq 3$ , $a_n=\left[ \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \right] +1$ , donde $[x]$ denota el entero $p$ tal que $p \leq x < p + 1$ . Amir

4 Problema 4. Ángel tiene un almacén que inicialmente contiene $100$ pilas de $100$ piezas de basura cada una. Cada mañana, Ángel realiza exactamente uno de los siguientes movimientos: (a) Limpia todas las piezas de basura de una sola pila. (b) Limpia una pieza de basura de cada pila. Sin embargo, cada noche, un demonio se cuela en el almacén y realiza exactamente uno de los siguientes movimientos: (a) Añade una pieza de basura a cada pila no vacía. (b) Crea una nueva pila con una pieza de basura. ¿Cuál es la primera mañana en la que Ángel puede garantizar haber limpiado toda la basura del almacén?

2 Utilizando solo una vez cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ y $8$, escriba el cuadrado y el cubo de un entero positivo. Determine cuál puede ser ese número.