1 Demuestre que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser disecado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud). Amir

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,i} + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i} + a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentre la matriz M. Amir

10 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$. Valentin

4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de esta última alternativa? Amir

4 Sea $n>1$ un entero positivo. Ana y Bob juegan un juego con otras $n$ personas. El grupo de $n$ personas forma un círculo, y Bob colocará un sombrero negro o uno blanco en la cabeza de cada persona. Cada persona puede ver todos los sombreros excepto el suyo propio. Ellos adivinarán el color de su propio sombrero individualmente. Antes de que Bob distribuya sus sombreros, Ana les da a las $n$ personas una estrategia que es la misma para todos. Por ejemplo, podría ser "adivinar el color justo a tu izquierda" o "si ves un número impar de sombreros negros, entonces adivina negro; de lo contrario, adivina blanco". Ana quiere maximizar el número de personas que adivinan el color correcto, y Bob busca lo contrario. Ahora, suponga que Ana y Bob son lo suficientemente inteligentes, y todos siguen una estrategia estrictamente. ¿Cuántas adivinanzas correctas puede garantizar Ana? Propuesto por China.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. El rayo $AD$ corta al rayo $BC$ en $P$. Sean $O, O'$ los circuncentros de los triángulos $PCD$ y $PAB$, respectivamente, y sean $H, H'$ los ortocentros de los triángulos $PCD$ y $PAB$, respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $DOC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AO'B$ si y solo si el circuncírculo del triángulo $DHC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AH'B$.

3 ¿Es posible particionar el espacio euclidiano tridimensional en $1979$ subconjuntos mutuamente isométricos? Amir

2 Utilizando solo una vez cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ y $8$, escriba el cuadrado y el cubo de un entero positivo. Determine cuál puede ser ese número.

2 Hay $4950$ hormigas. Suponga que, para cualesquiera tres hormigas $A, B$ y $C$, si la hormiga $A$ es la jefa de la hormiga $B$, y la hormiga $B$ es la jefa de la hormiga $C$, entonces la hormiga $A$ también es la jefa de la hormiga $C$. Queremos dividir las hormigas en $n$ grupos de modo que, en cualquier grupo, o bien cualesquiera dos hormigas tengan una relación de jefatura o bien cualesquiera dos hormigas no tengan una relación de jefatura. Encuentre el valor más pequeño de $n$ que siempre podemos lograr en cualquier caso.

5 Un torneo $(n, k)$ es una competencia con $n$ jugadores llevada a cabo en $k$ rondas tal que: $(i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $(ii)$ Si el jugador $A$ se enfrenta al jugador $B$ en la ronda $i$, el jugador $C$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $i$, y el jugador $A$ se enfrenta al jugador $C$ en la ronda $j$, entonces el jugador $B$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $j$. Determine todos los pares $(n, k)$ para los cuales existe un torneo $(n, k)$. Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina