4 Todos los cuadrados de un tablero de $(n+1)\times(n-1)$ cuadrados están pintados con tres colores de tal manera que, para cualesquiera dos columnas diferentes y cualesquiera dos filas diferentes, los 4 cuadrados en sus intersecciones no tienen todos el mismo color. Encuentre el mayor valor posible de $n$.

4 Utilizando varios cubos de arista $1$ de color blanco, Guille construye un cubo grande. Luego, elige $4$ caras del cubo grande y las pinta de rojo. Finalmente, desarma el cubo grande y observa que la cantidad de cubos con al menos una cara pintada de rojo es $431$. Encuentre el número de cubos que utilizó para ensamblar el cubo grande. Analice todas las posibilidades.

6 Un triángulo con agujeros es un triángulo equilátero orientado hacia arriba de lado $n$ con $n$ agujeros triangulares unitarios orientados hacia arriba recortados. Un diamante es un rombo unitario de $60^\circ-120^\circ$. Demuestre que un triángulo con agujeros $T$ puede ser recubierto con diamantes si y solo si se cumple la siguiente condición: todo triángulo equilátero orientado hacia arriba de lado $k$ en $T$ contiene a lo sumo $k$ agujeros, para $1\leq k\leq n$. Propuesto por Federico Ardila, Colombia

4 Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si se cumple que $b + k$ es un múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \}$. Demuestre que existe un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ intersecan al circuncírculo del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ). Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son semejantes.

3 ¿Es posible particionar el espacio euclidiano tridimensional en $1979$ subconjuntos mutuamente isométricos? Amir

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,i} + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i} + a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentre la matriz M. Amir

1 Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $AB^2A = AB$. Demuestre que: a) $(AB)^2 = AB$. b) $(AB - BA)^3 = O_n$.

2 Utilizando solo una vez cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ y $8$, escriba el cuadrado y el cubo de un entero positivo. Determine cuál puede ser ese número.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B, C$ y suponga que $A$ está dentro de $\omega$. Suponga que $X, Y$ yacen sobre $\omega$ tales que $\angle BXA=\angle AYC$. Suponga también que $X$ y $C$ yacen en lados opuestos de la recta $AB$ y que $Y$ y $B$ yacen en lados opuestos de la recta $AC$. Demuestre que, a medida que $X, Y$ varían sobre $\omega$, la recta $XY$ pasa por un punto fijo. Propuesto por Aaron Thomas, Reino Unido