7 Considere un poliedro convexo sin aristas paralelas y sin ninguna arista paralela a ninguna cara, excepto a las dos caras adyacentes a ella. Llame a un par de puntos del poliedro antipodales si existen dos planos paralelos que pasan por estos puntos y tales que el poliedro está contenido entre estos planos. Sea $A$ el número de pares antipodales de vértices, y sea $B$ el número de pares antipodales de puntos medios de aristas. Determine la diferencia $A-B$ en términos de los números de vértices, aristas y caras. Propuesto por Kei Irei, Japón

2 Sea $ABCD$ un trapecio con lados paralelos $AB > CD$. Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos de recta $AB$ y $CD$, respectivamente, de tal manera que $AK/KB=DL/LC$. Suponga que existen puntos $P$ y $Q$ en el segmento de recta $KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $B$ y $C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

4 Sea $n>1$ un entero positivo. Ana y Bob juegan un juego con otras $n$ personas. El grupo de $n$ personas forma un círculo, y Bob colocará un sombrero negro o uno blanco en la cabeza de cada persona. Cada persona puede ver todos los sombreros excepto el suyo propio. Ellos adivinarán el color de su propio sombrero individualmente. Antes de que Bob distribuya sus sombreros, Ana les da a las $n$ personas una estrategia que es la misma para todos. Por ejemplo, podría ser "adivinar el color justo a tu izquierda" o "si ves un número impar de sombreros negros, entonces adivina negro; de lo contrario, adivina blanco". Ana quiere maximizar el número de personas que adivinan el color correcto, y Bob busca lo contrario. Ahora, suponga que Ana y Bob son lo suficientemente inteligentes, y todos siguen una estrategia estrictamente. ¿Cuántas adivinanzas correctas puede garantizar Ana? Propuesto por China.

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

7 $M = (a_{i,j} ), \ i, j = 1, 2, 3, 4$ , es una matriz cuadrada de orden cuatro. Dado que: (i) para cada $i = 1, 2, 3,4$ y para cada $k = 5, 6, 7$ , \[a_{i,k} = a_{i,k-4};\] \[P_i = a_{1,i} + a_{2,i+1} + a_{3,i+2} + a_{4,i+3};\] \[S_i = a_{4,i} + a_{3,i+1} + a_{2,i+2} + a_{1,i+3};\] \[L_i = a_{i,1} + a_{i,2} + a_{i,3} + a_{i,4};\] \[C_i = a_{1,i} + a_{2,i} + a_{3,i} + a_{4,i},\] (ii) para cada $i, j = 1, 2, 3, 4$ , $P_i = P_j , S_i = S_j , L_i = L_j , C_i = C_j$ , y (iii) $a_{1,1} = 0, a_{1,2} = 7, a_{2,1} = 11, a_{2,3} = 2$ , y $a_{3,3} = 15$ . Encuentre la matriz M. Amir

1 Sea $f(x)$ la distancia de $x$ al cuadrado perfecto más cercano. Por ejemplo, $f(\pi) = 4 - \pi$. Sea $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ y sea $m$ un entero tal que la sucesión $a_n = f(m \; \alpha^n)$ es acotada. Demuestre que $m=k^2$ o $m = 5k^2$ para algún entero $k$. Propuesto por Rodrigo Sanches Angelo (rsa365), Brasil.

4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de esta última alternativa? Amir

1. En un círculo, $ AB$ y $ AC$ son dos cuerdas de igual longitud. ¿Cuántas cuerdas existen tales que $ AB$ y $ AC$ dividan a dichas cuerdas en tres partes de igual longitud?

8 La sucesión $(a_n)$ de números reales se define de la siguiente manera: \[a_1=1, \qquad a_2=2, \quad \text{y} \quad a_n=3a_{n-1}-a_{n-2} , \ \ n \geq 3.\] Demuestre que para $n \geq 3$ , $a_n=\left[ \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \right] +1$ , donde $[x]$ denota el entero $p$ tal que $p \leq x < p + 1$ . Amir

4 Utilizando varios cubos de arista $1$ de color blanco, Guille construye un cubo grande. Luego, elige $4$ caras del cubo grande y las pinta de rojo. Finalmente, desarma el cubo grande y observa que la cantidad de cubos con al menos una cara pintada de rojo es $431$. Encuentre el número de cubos que utilizó para ensamblar el cubo grande. Analice todas las posibilidades.