70 Hay $1979$ triángulos equiláteros: $T_1, T_2, . . . , T_{1979}$. Un lado del triángulo $T_k$ es igual a $\frac{1}{k}$, $k = 1, 2, . . . , 1979$. ¿Para qué valores de un número $a$ se pueden colocar todos estos triángulos dentro del triángulo equilátero con longitud de lado $a$ de modo que no se intersecten (se permiten puntos de contacto)?

65 Dada una función $f$ tal que $f(x)\le x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para todo $\{x,y\}\in\mathbb{R}$, demuestre que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

60 Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$, determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ sobre todos los números no negativos $x_i$ cuya suma es $a.$ Amir

64 Desde un punto $P$ en el arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$, se construye $PX$ perpendicular a $BC$, $PY$ perpendicular a $AC$ y $PZ$ perpendicular a $AB$ (prolongando los lados si fuera necesario). Demuestre que $\frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}$.

56 Demuestre que para todo $n\in\mathbb{N}$, $n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor>\frac{1}{2n \sqrt{2}}$ y que para todo $\epsilon >0$, existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $ n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor < \frac{1}{2n \sqrt{2}}+\epsilon$.

58 Demuestre que existe un $k_0\in\mathbb{N}$ tal que para todo $k\in\mathbb{N},k>k_0$, existe un número finito de rectas en el plano, no todas paralelas a una de ellas, que dividen al plano exactamente en $k$ regiones. Encuentre $k_0$.

57 Sea $M$ un conjunto y $A,B,C$ subconjuntos dados de $M$. Encuentre una condición necesaria y suficiente para la existencia de un conjunto $X\subset M$ para el cual $(X\cup A)\backslash(X\cap B)=C$. Describa todos los conjuntos de este tipo.

55 Sean $a,b$ enteros coprimos. Demuestre que la ecuación $ax^2 + by^2 =z^3$ tiene un conjunto infinito de soluciones $(x,y,z)$ con $\{x,y,z\}\in\mathbb{Z}$ y cada par de $x,y$ mutuamente coprimos.

59 Determine el valor máximo de $x^2 y^2 z^2 w$ para $\{x,y,z,w\}\in\mathbb{R}^{+} \cup\{0\}$ y $2x+xy+z+yzw=1$.

51 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y sean $S_1, S_2, \cdots, S_7$ círculos que satisfacen las siguientes condiciones: $S_1$ es tangente a $CA$ y $AB$, $S_2$ es tangente a $S_1, AB$ y $BC$, $S_3$ es tangente a $S_2, BC$ y $CA$, .............................. $S_7$ es tangente a $S_6, CA$ y $AB$. Demuestre que los círculos $S_1$ y $S_7$ coinciden.