33 Demuestre que $\frac{20}{60} <\sin 20^{\circ} < \frac{21}{60}.$ Amir

49 Sean dadas dos sucesiones de enteros $f_i(1), f_i(2), \cdots (i = 1, 2)$ que satisfacen: $(i) f_i(nm) = f_i(n)f_i(m)$ si $\gcd(n,m) = 1$ ; $(ii)$ para todo primo $P$ y todo $k = 2, 3, 4, \cdots$ , $f_i(P^k) = f_i(P)f_i(P^{k-1}) - P^2f(P^{k-2}).$ Además, para todo primo $P$ : $(iii) f_1(P) = 2P,$ $(iv) f_2(P) < 2P.$ Demuestre que $|f_2(n)| < f_1(n)$ para todo $n$ .

27 Para todo racional $x$ que satisface $0 \leq x < 1$, la función $f$ está definida por \[f(x)=\begin{cases}\frac{f(2x)}{4},&\mbox{para }0 \leq x < \frac 12,\\ \frac 34+ \frac{f(2x - 1)}{4}, & \mbox{para } \frac 12 \leq x < 1.\end{cases}\] Dado que $x = 0.b_1b_2b_3 \cdots $ es la representación binaria de $x$, encuentre, con demostración, $f(x)$. Amir

28 Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A.$ Desde cualquier vértice excepto $E$, salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$, se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestre que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

32 Sean $n, k \ge 1$ números naturales. Encuentre el número $A(n, k)$ de soluciones en enteros de la ecuación \[|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_k| = n\]

47 Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen los puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$ Amir

60 Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$, determine el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ sobre todos los números no negativos $x_i$ cuya suma es $a.$ Amir

25 Si $p$ y $q$ son números naturales tales que \[ \frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \ldots -\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}, \] demuestre que $p$ es divisible por $1979$.

37 Encuentre todas las bases de logaritmos para las cuales un número real positivo puede ser igual a su logaritmo, o demuestre que no existe ninguna. Amir

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentre todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir