1979 IMO Longlists 1979 P78
Denotemos por $\omega (n)$ el número de divisores primos distintos del número $n$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. Demuestre que existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple $\omega (n)< \omega (n+1)<\omega (n+2)$.
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1979 IMO Longlists 1979 P81
Sea $\Pi$ el conjunto de paralelepípedos rectangulares que tienen al menos una arista de longitud entera. Si un paralelepípedo rectangular $P_0$ puede ser descompuesto en paralelepípedos $P_1,P_2, . . . ,P_N\in \Pi$, demuestre que $P_0\in \Pi$.
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1979 IMO Longlists 1979 P80
80 Demuestre que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{y} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes. Amir
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2013 May Olympiad P1
1 Encuentre el número de formas de escribir el número $2013$ como la suma de dos enteros mayores o iguales a cero de tal manera que al sumar no haya acarreo. Aclaración: En la suma $2008+5=2013$ hay acarreo de las unidades a las decenas.
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1979 IMO Longlists 1979 P75
75 Dado un triángulo equilátero $ABC$, sea $M$ un punto arbitrario en el espacio. $(\text{a})$ Demuestre que se puede construir un triángulo a partir de los segmentos $MA, MB, MC$. $(\text{b})$ Suponga que $P$ y $Q$ son dos puntos simétricos con respecto al centro $O$ de $ABC$. Demuestre que los dos triángulos construidos a partir de los segmentos $PA, PB, PC$ y $QA, QB, QC$ tienen igual área.
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1979 IMO Longlists 1979 P76
76 Suponga que un triángulo cuyos lados tienen longitudes enteras está inscrito en un círculo de diámetro $6.25$. Encuentre los lados del triángulo.
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1979 IMO Longlists 1979 P77
77 Sea $h(n)$ el mayor divisor primo del número $n$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. ¿Existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple $h(n) < h(n+1) < h(n+2)$?
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1979 IMO Longlists 1979 P74
74 Dado un triángulo equilátero $ABC$ de lado $a$ en un plano, sea $M$ un punto en el círculo circunscrito del triángulo. Demuestre que la suma $s = MA^4 +MB^4 +MC^4$ es independiente de la posición del punto $M$ en el círculo, y determine ese valor constante como una función de $a$.
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1979 IMO Longlists 1979 P66
66 Encuentre todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto. Amir
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1979 IMO Longlists 1979 P67
67 Un círculo $C$ con centro $O$ en la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB, AC$. Si se seleccionan un punto $P$ en $AB$ y un punto $Q$ en $AC$ tales que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$, demuestre que el segmento de recta $PQ$ es tangente al círculo $C$, y demuestre el recíproco. Amir
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