3 Se dan cuatro puntos en el plano, no todos situados sobre una misma línea recta. ¿Es posible que, para cada elección de tres de estos puntos que forman un triángulo, la mediana, la bisectriz y la altura trazadas desde tres vértices diferentes del triángulo se corten todas en un único punto?

3 El plano de una galería de arte es una figura cuadriculada donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar de cualquier habitación a otra moviéndose a habitaciones adyacentes. Un vigilante en una habitación puede observar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación mediante un movimiento de una reina de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Cuál es el número mínimo de vigilantes que es suficiente para observar todas las habitaciones en cualquier galería de $n$ habitaciones ($n > 2$)?

4 Considere la sucesión $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3,4,5,6\}$, y para $n \ge 7$: $$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$ donde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual a $x$. Por ejemplo: ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$. Para todo entero $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_2,...,a_n\} - \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la notación de "eliminarlo si está presente". Por ejemplo: $S_4 = \{2,3,4\}$ porque $r_4= 1$, por lo que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo, $S_5 = \{1,2,3,4,5\}$ porque $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$. 1. Determine $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$. 2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien equilibrado si puede particionarse en tres subconjuntos disjuntos dos a dos con igual suma. Por ejemplo: $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Demuestre que $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$ están bien equilibrados. 3. ¿Está el conjunto $S_{2019}$ bien equilibrado? Justifique su respuesta.

3 Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y yacen sobre un círculo. Sea $S$ el área de $P$. Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$. Demuestre que $2S$ es un entero divisible por $n$.

6 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados opuestos a los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sea $R$ su circunradio y $r$ su inradio. Suponga que $b + c = 2a$ y $R = 3r$. El excírculo relativo al vértice $A$ interseca al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Sea $U$ el punto medio del lado $BC$, y sea $I$ el incentro de $ABC$. Demuestre que $U$ es el baricentro del triángulo $QIP$.

2 Encuentre todos los primos $p$ tales que $p^2-p+1$ sea un cubo perfecto.

6 En cada casilla de un tablero de $100 \times 100$ hay escrito un número entero. La operación permitida consiste en elegir cuatro casillas que formen la figura o cualquiera de sus reflexiones o rotaciones, y sumar $1$ a cada uno de los cuatro números. El objetivo es, mediante las operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor número posible de residuos distintos módulo $33$. ¿Cuál es el número mínimo que se puede lograr con certeza?

$6n$ personas juegan ajedrez en una ronda. Encuentre el número mínimo de rondas en las cuales el número de victorias y los puntos obtenidos por los jugadores están en orden inverso (una ronda es una ronda en la que cada jugador juega exactamente una vez con todos los demás, y el ganador obtiene $1$ punto, el perdedor obtiene $0$ puntos y el jugador que empata obtiene $0.5$ puntos).

2011.8 Sea $ABCD$ un paralelogramo y $H$ el ortocentro del $\triangle{ABC}$. La recta paralela a $AB$ que pasa por $H$ corta a $BC$ en $P$ y a $AD$ en $Q$, mientras que la recta paralela a $BC$ que pasa por $H$ corta a $AB$ en $R$ y a $CD$ en $S$. Demuestre que $P$, $Q$, $R$ y $S$ son concíclicos. (Olimpiada Matemática Suiza 2011, Ronda final, problema 8) Martin N.

23 Considere el conjunto $E$ que consiste en pares de enteros $(a, b)$, con $a \geq 1$ y $b \geq 1$, que satisfacen en el sistema decimal las siguientes propiedades: (i) $b$ se escribe con tres dígitos, como $\overline{\alpha_2\alpha_1\alpha_0}$, $\alpha_2 \neq 0$; (ii) $a$ se escribe como $\overline{\beta_p \ldots \beta_1\beta_0}$ para algún $p$; (iii) $(a + b)^2$ se escribe como $\overline{\beta_p\ldots \beta_1 \beta_0 \alpha_2 \alpha_1 \alpha_0}$. Encuentre los elementos de $E$. Amir