1 Sea $n > 10$ un entero, y sean $A_1, A_2, \dots, A_n$ puntos distintos en el plano tales que las distancias entre los puntos son todas diferentes entre sí. Defina $f_{10}(j, k)$ como la décima distancia más pequeña desde $A_j$ a $A_1, A_2, \dots, A_k$, excluyendo $A_j$ si $k \geq j$. Suponga que para todo $j$ y $k$ que satisfacen $11 \leq j \leq k \leq n$, tenemos $f_{10}(j, j - 1) \geq f_{10}(k, j - 1)$. Demuestre que $f_{10}(j, n) \geq \frac{1}{2} f_{10}(n, n)$ para todo $j$ en el rango $1 \leq j \leq n - 1$. Propuesto por Morteza Saghafian, Irán