116 Hay un lobo en el centro de un campo cuadrado y cuatro perros en las esquinas. El lobo puede matar fácilmente a un perro, pero dos perros pueden matar al lobo. El lobo puede correr por todo el campo, y los perros solo a lo largo de la cerca (borde). Demuestre que si la velocidad del perro es $1.5$ veces mayor que la del lobo, entonces los perros pueden evitar que el lobo escape.

176 Dados $n$ puntos, $n > 4$. Demuestre que puede conectarlos con flechas, de tal manera que pueda llegar a cada punto desde cualquier otro punto, habiendo pasado por una o dos flechas. (Puede conectar cada par con una sola flecha, y moverse a lo largo de la flecha en una sola dirección).

174 Catorce monedas son presentadas ante un juez. Un experto sabe que las monedas del número uno al siete son falsas, y del $8$ al $14$ son normales. El juez solo está seguro de que todas las monedas verdaderas tienen el mismo peso y todas las monedas falsas tienen pesos iguales entre sí, pero menores que el peso de las monedas verdaderas. El experto tiene una balanza de platillos sin pesas. a) El experto quiere demostrar que las monedas $1--7$ son falsas. ¿Cómo puede hacerlo en tres pesadas? b) ¿Cómo puede demostrar que las monedas $1--7$ son falsas y las monedas $8--14$ son verdaderas en tres pesadas?

175 Demuestre que un número de $9$ dígitos que contiene todos los dígitos decimales excepto el cero y no termina en $5$ no puede ser un cuadrado perfecto.

159 Dado un rectángulo $ABCD$, sean $M$ el punto medio del lado $[AD]$ y $N$ el punto medio del lado $[BC]$. Sea $P$ un punto en la prolongación del segmento $[DC]$ más allá del punto $D$. Denotemos el punto de intersección de las rectas $(PM)$ y $(AC)$ como $Q$. Demuestre que $\angle QNM= \angle MNP$.

073 a) Sean $B$ y $C$ puntos dentro del segmento $[AD]$. $|AB|=|CD|$. Demuestre que para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD|>|PB|+|PC|$$ b) Dados cuatro puntos $A,B,C,D$ en el plano. Para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD| > |PB|+|PC|.$$ Demuestre que los puntos $B$ y $C$ están dentro del segmento $[AD]$ y $|AB|=|CD|$.

147 Dado un cuadrado unitario y algunos círculos en su interior. El radio de cada círculo es menor que $0.001$, y no existe ningún par de puntos pertenecientes a círculos diferentes cuya distancia entre ellos sea exactamente $0.001$. Demuestre que el área cubierta por los círculos no es mayor que $0.34$.

Algunos estudiantes de la facultad hablan varios idiomas y otros solo ruso. $50$ de ellos saben inglés, $50$ francés y $50$ español. Demuestre que es posible dividirlos en $5$ grupos, no necesariamente iguales, para obtener $10$ de ellos que sepan inglés, $10$ francés y $10$ español en cada grupo.

056 a) Cada uno de los números $x_1,x_2,...,x_n$ puede ser $1, 0$ o $-1$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de todos los productos de parejas de dichos números? b) El valor absoluto de cada uno de los números $x_1,x_2,...,x_n$ no excede $1$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de todos los productos de parejas de dichos números?

374 Dados cuatro colores y suficientes placas cuadradas de $1\times 1$. Debemos pintar los cuatro bordes de cada placa con cuatro colores diferentes y combinar las placas, colocándolas con los bordes del mismo color juntos. Describa todos los pares $m,n$ tales que podamos combinar dichas placas en un rectángulo de $n\times m$ que tenga cada borde de un color, y sus cuatro bordes tengan colores diferentes.