160 Dados $50$ segmentos en la recta. Demuestre que una de las siguientes afirmaciones es válida: 1. Algunos $8$ segmentos tienen un punto en común. 2. Algunos $8$ segmentos no se intersecan entre sí.

129 Dado un círculo, su diámetro $[AB]$ y un punto $C$ en él. Construya (con la ayuda de regla y compás) dos puntos $X$ e $Y$, que sean simétricos con respecto a la recta $(AB)$, tales que $(YC)$ sea ortogonal a $(XA)$.

221 Una fila de $1000$ números está escrita en la pizarra. Escribimos una nueva fila, debajo de la primera, de acuerdo con la siguiente regla: escribimos debajo de cada número $a$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $a$ en la primera fila. Luego escribimos la tercera fila: debajo de cada número $b$ el número natural que indica cuántas veces aparece el número $b$ en la segunda fila, y así sucesivamente. a) Demuestre que existe una fila que coincide con la precedente. b) Demuestre que la undécima fila coincide con la duodécima. c) Dé un ejemplo de una fila inicial tal que la décima fila sea diferente de la undécima.

236 Dados varios puntos, no todos situados sobre una misma línea recta. Se asigna un número a cada punto. Se sabe que, si una línea recta contiene dos o más puntos, entonces la suma de los números asignados a dichos puntos es igual a cero. Demuestre que todos los números son iguales a cero.

327 Dados dos puntos $M$ y $K$ en la circunferencia con radio $r_1$ y centro $O_1$. La circunferencia con radio $r_2$ y centro $O_2$ está inscrita en $\angle MO_1K$. Encuentre el área del cuadrilátero $MO_1KO_2$.

305 Dados los puntos $A, B, M, N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

307 La tabla rectangular tiene cuatro filas. La primera contiene números naturales arbitrarios (algunos de ellos pueden ser iguales). Las filas consecutivas se completan de acuerdo con la siguiente regla: observamos la fila anterior de izquierda a derecha hasta un cierto número $n$ y escribimos el número $k$ si $n$ apareció $k$ veces. Demuestre que la segunda fila coincide con la cuarta.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

271 Cada miembro de cierto parlamento tiene no más de $3$ enemigos. Demuestre que es posible dividirlo en dos subparlamentos de tal manera que cada uno tenga no más de un enemigo en su propio subparlamento. ($A$ es enemigo de $B$ si y solo si $B$ es enemigo de $A$.)