70 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n$. Amir

24 Todo $x$, $0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}$, $b(1) =\frac{1}{2+c}$, $c > 0$, y \[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\] demuestre que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x$, $0 < x < 1$. Amir

3 Se permite la siguiente operación en un grafo finito: elija un ciclo arbitrario de longitud 4 (si existe alguno), elija una arista arbitraria en dicho ciclo y elimínela del grafo. Para un entero fijo ${n\ge 4}$, encuentre el número mínimo de aristas de un grafo que puede obtenerse mediante aplicaciones repetidas de esta operación a partir del grafo completo de $n$ vértices (donde cada par de vértices está unido por una arista). Propuesto por Norman Do, Australia

1 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con $2m+1$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

40 Las cuatro caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos congruentes cuyos ángulos forman una progresión aritmética. Si las longitudes de los lados de los triángulos son $a < b < c$, determine el radio de la esfera circunscrita al tetraedro como una función de $a, b$ y $c$. ¿Cuál es la razón $c/a$ si $R = a$? Amir

22 ¿Existe un número infinito de conjuntos $C$ que consisten en $1983$ números naturales consecutivos tales que cada uno de los números es divisible por algún número de la forma $a^{1983}$, con $a \in \mathbb N, a \neq 1$? Amir

17 ¿De cuántas formas se pueden organizar los números $1, 2, \ldots, 2n$ en una matriz rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ tal que: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$ Amir

37 Los puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{1983}$ están situados en la circunferencia de un círculo y a cada uno se le asigna uno de los valores $\pm 1$. Demuestre que si el número de puntos con el valor $+1$ es mayor que $1789$, entonces al menos $1207$ de los puntos tendrán la propiedad de que las sumas parciales que pueden formarse tomando los números desde ellos hasta cualquier otro punto, en cualquier dirección, son estrictamente positivas. Amir

55 Para cada $a \in \mathbb N$, denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$ Amir

19 Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestre que para cada entero positivo $n$, $a_n$ es un entero positivo. Amir