La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. falantrng 252 publicaciones falantrng #1 h 27 de abr. de 2025, 5:47 a. m. • 7 Y Y por farhad.fritl, Frd_19_Hsnzde, ehuseyinyigit, pomodor_ap, Nuran2010, Rounak_iitr, user4747 En un triángulo acutángulo \(ABC\), sea \(H\) su ortocentro y \(D\) cualquier punto en el lado \(BC\). Los puntos \(E, F\) están en los segmentos \(AB, AC\), respectivamente, tales que los puntos \(A, B, D, F\) y \(A, C, D, E\) son concíclicos. Los segmentos \(BF\) y \(CE\) se cortan en \(P.\) \(L\) es un punto en \(HA\) tal que \(LC\) es tangente al circuncírculo del triángulo \(PBC\) en \(C.\) \(BH\) y \(CP\) se cortan en \(X\). Demuestre que los puntos \(D, X\) y \(L\) son colineales. Propuesto por Theoklitos Parayiou, Chipre Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por falantrng, 27 de abr. de 2025, 10:38 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:12 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para un polígono convexo $P$ en el plano, sea $P'$ el polígono convexo con vértices en los puntos medios de los lados de $P.$ Dado un entero $n \geq 3,$ determine cotas precisas para la razón \[ \frac{\text{área } P'}{\text{área } P}, \] sobre todos los $n$-ágonos convexos $P.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:35 PM • 2 Y Y por Adventure10, Adventure10 Sea $g(n)$ definida de la siguiente manera: \[ g(1) = 0, g(2) = 1 \] y \[ g(n+2) = g(n) + g(n+1) + 1, n \geq 1. \] Demuestre que si $n > 5$ es un número primo, entonces $n$ divide a $g(n) \cdot (g(n) + 1).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. GreenTea2593 302 publicaciones GreenTea2593 #1 h 12 de julio de 2023, 2:40 AM • 1 Y Y por PRMOisTheHardestExam Dos jugadores juegan un juego. Tienen $n > 2$ montones que contienen $n^{10}+1$ piedras cada uno. Un movimiento consiste en eliminar todos los montones excepto uno y dividir el montón restante en $n$ montones no vacíos. El jugador que no puede realizar un movimiento pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el jugador que mueve primero o su adversario? Z K Y

Consideramos los $n$ vértices de un polígono regular de $n$ lados. Existe un conjunto de triángulos con vértices en estos $n$ puntos con la propiedad de que, para cada triángulo en el conjunto, al menos uno de sus lados no es lado de ningún otro triángulo del conjunto. ¿Cuál es la mayor cantidad de triángulos que puede tener el conjunto?

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:39 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sea $-1 < x < 1.$ Demuestre que \[ \sum^{6}_{k=0} \frac{1 - x^2}{1 - 2 \cdot x \cdot \cos \left( \frac{2 \cdot \pi \cdot k }{7} \right) + x^2} = \frac{7 \cdot \left( 1 + x^7 \right)}{\left( 1 - x^7 \right)}. \] Deduzca que \[ \csc^2\left( x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(2 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) + \csc^2\left(3 \cdot x + \frac{\pi}{7} \right) = 8. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:49 PM • 1 Y Y por Adventure10 En el pentágono convexo $ ABCDE,$ los lados $ BC, CD, DE$ son iguales. Además, cada diagonal del pentágono es paralela a un lado ($ AC$ es paralela a $ DE$, $ BD$ es paralela a $ AE$, etc.). Demuestre que $ ABCDE$ es un pentágono regular. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de septiembre de 2008, 7:15 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Jjesus 523 publicaciones Jjesus #1 h 23 de julio de 2020, 9:35 PM • 2 Y Y por Mango247, Mango247 Encuentre el entero positivo $N$ más pequeño de dos o más dígitos que tiene la siguiente propiedad: Si insertamos cualquier dígito no nulo $d$ entre dos dígitos adyacentes cualesquiera de $N$, obtenemos un número que es múltiplo de $d$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Mahdi_Mashayekhi 734 publicaciones Mahdi_Mashayekhi #1 h 21 de nov. de 2025, 11:39 a. m. Y por Se da un triángulo equilátero $ABC$. Los puntos $O_{1}, O_{2}$ yacen sobre los lados $AB,AC$ respectivamente. Se sabe que el círculo centrado en $O_{1}$ y que pasa por $B$ es tangente externamente al círculo centrado en $O_{2}$ y que pasa por $C$ en un punto $P$ dentro del triángulo. Encuentre el ángulo $\angle{BPC}$. Propuesto por Davood Vakili - Irán Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de julio de 2019, 7:27 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 En los lados $AB, BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$ se ubican los puntos $P, Q$ y $R$ respectivamente, tales que $BQ = 2QC, CR = 2RA$ y $\angle PRQ = 90^o$. Demuestre que $\angle APR =\angle RPQ$. Z K Y