123 Cada ciudad en un determinado estado está conectada por líneas aéreas con no más de otras tres, pero se puede llegar de cada ciudad a cualquier otra ciudad cambiando de avión solo una vez o directamente. ¿Cuál es el número máximo posible de ciudades?

117 Dada una sucesión finita de ceros y unos, la cual tiene dos propiedades: a) si en algún lugar arbitrario de la sucesión seleccionamos cinco dígitos consecutivos y también seleccionamos cinco dígitos en cualquier otro lugar consecutivo, entonces estos grupos de cinco serán diferentes (pueden solaparse); b) si se añade cualquier dígito a la derecha de la sucesión, entonces la propiedad (a) dejará de cumplirse. Demuestre que los primeros cuatro dígitos de nuestra sucesión coinciden con los últimos cuatro.

118 Dados números positivos $a,b,c,d$. Demuestre que el conjunto de desigualdades $$a+b<c+d$$ $$(a+b)(c+d)<ab+cd$$ $$(a+b)cd<ab(c+d)$$ contiene al menos una incorrecta.

119 ¿Para qué natural mínimo $a$ el polinomio $ax^2 + bx + c$ con $c$ y $b$ enteros tiene dos raíces positivas distintas, ambas menores que uno?

Sea $P$ un punto y $ABC$ un triángulo equilátero que satisfacen $|AP|=2$ y $|BP|=3$. Maximice $|CP|$.

120 Dado un natural $n$. Considere todas las fracciones $1/(pq)$, donde $p$ y $q$ son primos entre sí, $0<p<q\le n$ y $p+q>n$. Demuestre que la suma de todas esas fracciones es igual a $1/2$.

2 Considere $120$ cuadrados unitarios situados arbitrariamente en un rectángulo de $20\times 25$. Demuestre que se puede colocar un círculo de diámetro unitario en el rectángulo sin intersecar ninguno de los cuadrados.

142 Todos los números naturales que contienen no más de $n$ dígitos se dividen en dos grupos. El primero contiene los números con una suma de dígitos par, el segundo, con una suma de dígitos impar. Demuestre que si $0<k<n$, entonces la suma de las $k$-ésimas potencias de los números en el primer grupo es igual a la suma de las $k$-ésimas potencias de los números en el segundo grupo.

066 El turista ha llegado a Moscú en tren. Durante todo el día vagó aleatoriamente por las calles. Luego cenó en una cafetería de la plaza y decidió regresar a la estación únicamente a través de las calles por las que había pasado un número impar de veces. Demuestre que siempre es capaz de hacerlo.

121 Dados $n$ puntos en el espacio tridimensional tales que cualquier triángulo arbitrario con vértices en tres de esos puntos contiene un ángulo mayor a $120$ grados. Demuestre que es posible reordenarlos para formar una línea poligonal (abierta) con todos los ángulos entre los segmentos consecutivos mayores a $120$ grados.