3 Considere una tabla con un número real en cada celda. En un paso, uno puede cambiar el signo de los números en una fila o en una columna simultáneamente. Demuestre que se puede obtener una tabla con sumas no negativas en cada fila y en cada columna.

12 Dados enteros distintos $x, y, z$, demuestre que $(x-y)^5 + (y-z)^5 + (z-x)^5$ es divisible por $5(x-y)(y- z)(z-x)$.

1 Demuestre que para cualesquiera tres sucesiones infinitas de números naturales $(a_n)_{n\ge 1}$ , $(b_n)_{n\ge 1}$ , $(c_n)_{n\ge 1}$ , existen números $p$ y $q$ tales que $a_p\ge a_q$ , $b_p\ge b_q$ y $c_p\ge c_q$ .

2 Considere $120$ cuadrados unitarios situados arbitrariamente en un rectángulo de $20\times 25$. Demuestre que se puede colocar un círculo de diámetro unitario en el rectángulo sin intersecar ninguno de los cuadrados.

123 Cada ciudad en un determinado estado está conectada por líneas aéreas con no más de otras tres, pero se puede llegar de cada ciudad a cualquier otra ciudad cambiando de avión solo una vez o directamente. ¿Cuál es el número máximo posible de ciudades?

9 Se da un número con $1998$ dígitos que es divisible por $9$. Sea $x$ la suma de sus dígitos, sea $y$ la suma de los dígitos de $x$, y $z$ la suma de los dígitos de $y$. Encuentre $z$.

153 Dados $25$ números positivos diferentes. Demuestre que se pueden elegir dos de ellos tales que ninguno de los otros números sea igual ni a la suma ni a la diferencia entre los números elegidos.

10 En un triángulo, $AB=BC$ y $M$ es el punto medio de $AC$. Se elige $H$ en $BC$ de tal manera que $MH$ es perpendicular a $BC$. $P$ es el punto medio de $MH$. Demuestre que $AH$ es perpendicular a $BP$.

006 a) Los puntos $A$ y $B$ se mueven uniformemente y con igual velocidad angular a lo largo de las circunferencias con centros $O_a$ y $O_b$ (ambos en sentido horario). Demuestre que un vértice $C$ del triángulo equilátero $ABC$ también se mueve uniformemente a lo largo de una cierta circunferencia. b) La distancia desde el punto $P$ a los vértices del triángulo equilátero $ABC$ es igual a $|AP|=2, |BP|=3$. Encuentre el valor máximo de $CP$.

141 Todos los números de $5$ dígitos desde $11111$ hasta $99999$ están escritos en tarjetas. Dichas tarjetas se colocan en una fila en un orden arbitrario. Demuestre que el número de $444445$ dígitos resultante no es una potencia de dos.