047 Se trazan cuatro perpendiculares desde los vértices de un cuadrilátero convexo a sus diagonales. Demuestre que sus bases forman un cuadrilátero semejante al dado.

064 ¿Es posible colocar $1965$ puntos en un cuadrado de lado $1$ de tal manera que cualquier rectángulo de área $1/200$ con lados paralelos a los lados del cuadrado contenga al menos uno de estos puntos en su interior?

114 Sea un cuadrilátero $ABCD$. Las longitudes de todos sus lados y diagonales son números racionales. Sea $O$ el punto de intersección de sus diagonales. Demuestre que $|AO|$ —la longitud del segmento $[AO]$— también es racional.

006 a) Los puntos $A$ y $B$ se mueven uniformemente y con igual velocidad angular a lo largo de las circunferencias con centros $O_a$ y $O_b$ (ambos en sentido horario). Demuestre que un vértice $C$ del triángulo equilátero $ABC$ también se mueve uniformemente a lo largo de una cierta circunferencia. b) La distancia desde el punto $P$ a los vértices del triángulo equilátero $ABC$ es igual a $|AP|=2, |BP|=3$. Encuentre el valor máximo de $CP$.

092 Tres vértices $KLM$ del rombo $KLMN$ yacen sobre los lados $[AB], [BC]$ y $[CD]$ del cuadrado unitario dado. Encuentre el área del conjunto de todos los posibles vértices $N$.

Algunos estudiantes de la facultad hablan varios idiomas y otros solo ruso. $50$ de ellos saben inglés, $50$ francés y $50$ español. Demuestre que es posible dividirlos en $5$ grupos, no necesariamente iguales, para obtener $10$ de ellos que sepan inglés, $10$ francés y $10$ español en cada grupo.

095 ¿Qué es mayor, $31^{11}$ o $17^{14}$?

096 Se dibuja una circunferencia de radio $100$ cm sobre papel cuadriculado con cuadrados de lado $1$ cm. Esta no pasa por los vértices de los cuadrados ni toca las líneas. ¿Por cuántos cuadrados puede pasar?

127 Sea $h_k$ el apotema de un polígono regular de $k$ lados inscrito en un círculo de radio $R$. Demuestre que $$(n + 1)h_{n+1} - nh_n > R$$

128 Demuestre que para cualesquiera números positivos $a_1, a_2, ... , a_n$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+....+\frac{a_{n-1}}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2}>\frac{n}{4}$$