La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:47 PM • 1 Y Y por Adventure10 Sean $A_1, A_2, \ldots, A_{29}$ $29$ sucesiones diferentes de enteros positivos. Para $1 \leq i < j \leq 29$ y cualquier número natural $x,$ definimos $N_i(x) =$ número de elementos de la sucesión $A_i$ que son menores o iguales a $x,$ y $N_{ij}(x) =$ número de elementos de la intersección $A_i \cap A_j$ que son menores o iguales a $x.$ Se da que para todo $1 \leq i \leq 29$ y todo número natural $x,$ \[ N_i(x) \geq \frac{x}{e}, \] donde $e = 2.71828 \ldots$ Demuestre que existe al menos un par $i,j$ ( $1 \leq i < j \leq 29$ ) tal que \[ N_{ij}(1988) > 200. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:02 a. m. • 4 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247, Mango247 Sea $T$ un triángulo con círculo inscrito $C.$ Un cuadrado con lados de longitud $a$ está circunscrito alrededor del mismo círculo $C.$ Demuestre que la longitud total de las partes de los lados del cuadrado interiores al triángulo $T$ es al menos $2 \cdot a.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Las rectas $ L_{A}$ , $ L_{B}$ y $ L_{C}$ se construyen a través de los vértices $ A$ , $ B$ y $ C$ respectivamente de acuerdo con la siguiente prescripción: Sea $ H$ el pie de la altura trazada desde el vértice $ A$ al lado $ BC$ ; sea $ S_{A}$ el círculo con diámetro $ AH$ ; sea $ S_{A}$ el que corta a los lados $ AB$ y $ AC$ en $ M$ y $ N$ respectivamente, donde $ M$ y $ N$ son distintos de $ A$ ; entonces sea $ L_{A}$ la recta que pasa por $ A$ perpendicular a $ MN$ . Las rectas $ L_{B}$ y $ L_{C}$ se construyen de manera similar. Demuestre que las rectas $ L_{A}$ , $ L_{B}$ y $ L_{C}$ son concurrentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 6:52 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Mahdi_Mashayekhi 734 publicaciones Mahdi_Mashayekhi #1 h 21 de nov. de 2025, 11:41 a. m. Y por Arash se da un triángulo rectángulo isósceles de papel. Un doblez de este papel se llama bueno si el polígono obtenido después de este doblez tiene todos sus ángulos menores a $180^\circ$. Arash realiza un buen doblez. Babak toma el papel y realiza dos buenos dobleces, de modo que el papel queda doblado exactamente tres veces al final. Arash quiere que el polígono final tenga el mayor número posible de lados, pero Babak quiere lo contrario. Suponiendo que hacen su mejor esfuerzo, ¿cuántos lados tiene el polígono final? Propuesto por Arvin Taheri - Irán Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:08 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S$ un conjunto infinito de enteros que contiene al cero, y tal que las distancias entre números sucesivos nunca exceden un número fijo dado. Considere el siguiente procedimiento: Dado un conjunto $X$ de enteros, construimos un nuevo conjunto que consiste en todos los números $x \pm s,$ donde $x$ pertenece a $X$ y $s$ pertenece a $S.$ Partiendo de $S_0 = \{0\},$ construimos sucesivamente los conjuntos $S_1, S_2, S_3, \ldots$ usando este procedimiento. Demuestre que después de un número finito de pasos no obtenemos ningún conjunto nuevo, es decir, $S_k = S_{k_0}$ para $k \geq k_0.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de noviembre de 2005, 2:24 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Hay $ n \geq 3$ vacantes de trabajo en una fábrica, clasificadas del $1$ al $ n$ en orden de salario creciente. Hay $ n$ solicitantes de empleo, clasificados del $1$ al $ n$ en orden de habilidad creciente. El solicitante $ i$ está calificado para el trabajo $ j$ si y solo si $ i \geq j.$ Los solicitantes llegan uno a la vez en orden aleatorio. Cada uno, a su turno, es contratado para el trabajo de mayor rango para el cual está calificado Y que sea de menor rango que cualquier trabajo ya ocupado. (Bajo estas reglas, el trabajo $1$ siempre se ocupa, y la contratación termina después de eso). Demuestre que los solicitantes $ n$ y $ n - 1$ tienen la misma probabilidad de ser contratados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:11 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ N = \{1,2 \ldots, n\}, n \geq 2.$ Se dice que una colección $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ de subconjuntos $ A_i \subseteq N,$ $ i = 1, \ldots, t,$ es separadora si para cada par $ \{x,y\} \subseteq N,$ existe un conjunto $ A_i \in F$ tal que $ A_i \cap \{x,y\}$ contiene exactamente un elemento. Se dice que $ F$ es cubridora si cada elemento de $ N$ está contenido en al menos un conjunto $ A_i \in F.$ ¿Cuál es el valor mínimo $ f(n)$ de $ t,$ tal que existe un conjunto $ F = \{A_1, \ldots, A_t\}$ que es simultáneamente separador y cubridor? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 12 de sep. de 2008, 7:37 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 9 de nov. de 2005, 2:12 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un entero positivo se denomina número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Así, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Demuestre que existen infinitos números doble que son cuadrados perfectos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 13 de sep. de 2008, 8:33 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 27 de abril de 2025, 7:57 a. m. • 3 Y Y por Miquel-point, PikaPika999, Mysteriouxxx Hay $n$ ciudades en un país, donde $n \geq 100$ es un entero. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos directos (de doble sentido). Para dos ciudades $A$ y $B$ definimos: $(i)$ Un $\emph{camino}$ entre $A$ y $B$ como una sucesión de ciudades distintas $A = C_0, C_1, \dots, C_k, C_{k+1} = B$, $k \geq 0$, tal que existen vuelos directos entre $C_i$ y $C_{i+1}$ para todo $0 \leq i \leq k$; $(ii)$ Un $\emph{camino largo}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene más ciudades; $(iii)$ Un $\emph{camino corto}$ entre $A$ y $B$ como un camino entre $A$ y $B$ tal que ningún otro camino entre $A$ y $B$ tiene menos ciudades. Suponga que para cualquier par de ciudades $A$ y $B$ en el país, existen un camino largo y un camino corto entre ellas que no tienen ciudades en común (excepto $A$ y $B$). Sea $F$ el número total de pares de ciudades en el país que están conectados por vuelos directos. En términos de $n$, encuentre todos los valores posibles de $F$. Propuesto por David-Andrei Anghel, Rumania. Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por egxa, 27 de abril de 2025, 4:59 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 3:25 PM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247, Mango247 Sea $ p$ el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Demuestre que no existen enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] O BIEN Demuestre que solo existen dos valores de $ p$ para los cuales hay enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] Z K Y