La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 10:28 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Exprese el número 1988 como la suma de algunos enteros positivos de tal manera que el producto de estos enteros positivos sea máximo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ltf0501 191 publicaciones ltf0501 #1 h 21 de junio de 2022, 5:24 AM Y por Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $I$ como su incentro. El incírculo toca a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente. $Y$ , $Z$ son los puntos medios de $DF$ , $DE$ respectivamente, y $S$ , $V$ son las intersecciones de las rectas $YZ$ y $BC$ , $AD$ , respectivamente. $T$ es la segunda intersección de $\odot(ABC)$ y $AS$ . $K$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AT$ . Demuestre que $KV$ es paralelo a $DT$ . Propuesto por ltf0501 Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 10:34 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Para qué valores de $ n$ existe una matriz de $ n \times n$ con entradas -1, 0 o 1 tal que las $ 2 \cdot n$ sumas obtenidas al sumar los elementos de las filas y las columnas sean todas diferentes? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $AB$ y $CD$ dos cuerdas perpendiculares de un círculo con centro $O$ y radio $r$ y sean $X,Y,Z,W$ las cuatro partes en orden cíclico en las que se divide el disco de esta manera. Encuentre el máximo y el mínimo de la cantidad \[ \frac{A(X) + A(Z)}{A(Y) + A(W)}, \] donde $A(U)$ denota el área de $U.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:13 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $Z_{m,n}$ el conjunto de todos los pares ordenados $(i,j)$ con $i \in {1, \ldots, m}$ y $j \in {1, \ldots, n}.$ Sea también $a_{m,n}$ el número de todos aquellos subconjuntos de $Z_{m,n}$ que no contienen 2 pares ordenados $(i_1,j_1)$ y $(i_2,j_2)$ con $|i_1 - i_2| + |j_1 - j_2| = 1.$ Entonces demuestre, para todos los enteros positivos $m$ y $k,$ que \[ a^2_{m, 2 \cdot k} \leq a_{m, 2 \cdot k - 1} \cdot a_{m, 2 \cdot k + 1}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 24 de sep. de 2021, 4:04 p. m. Y por Hay un tablero con $2020$ casillas en la fila inferior y $2019$ en la fila superior, ubicadas como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/f/3/516ad5485c399427638c3d1783593d79d83002.png En la fila inferior se colocan los números enteros del $1$ al $2020$ en algún orden. Luego, en cada casilla de la fila superior se registra la multiplicación de los dos números debajo de ella. ¿Cómo se pueden colocar los números en la fila inferior de modo que la suma de los números en la fila superior sea la menor posible? Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por parmenides51, 24 de sep. de 2021, 4:04 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:07 a. m. • 5 Y Y por PhantomR, Adventure10, Mango247, Mango247, Mango247 Si $ n$ recorre todos los enteros positivos, entonces $ f(n) = \left[n + \sqrt {\frac {n}{3}} + \frac {1}{2} \right]$ recorre todos los enteros positivos omitiendo los términos de la sucesión $ a_n = 3 \cdot n^2 - 2 \cdot n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:10 a. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Centralorbit, Adventure10 Si $ n$ recorre todos los enteros positivos, entonces $ f(n) = \left \lfloor n + \sqrt {3n} + \frac {1}{2} \right \rfloor$ recorre todos los enteros positivos omitiendo los términos de la sucesión $ a_n = \left \lfloor \frac {n^2 + 2n}{3} \right \rfloor$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ ABC,$ elija puntos cualesquiera $ K \in BC, L \in AC, M \in AB, N \in LM, R \in MK$ y $ F \in KL.$ Si $ E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ y $ E$ denotan las áreas de los triángulos $ AMR, CKR, BKF, ALF, BNM, CLN$ y $ ABC$ respectivamente, demuestre que \[ E \geq 8 \cdot \sqrt [6]{E_1 E_2 E_3 E_4 E_5 E_6}. \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 24 de sep. de 2021, 12:12 p. m. Y por Un entero positivo se llama piola si el $9$ es el resto obtenido al dividirlo por $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ y $10$, y todos sus dígitos son diferentes y distintos de cero. ¿Cuántos números piola hay entre $1$ y $100000$? Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por parmenides51, 24 de sep. de 2021, 12:14 p. m. Z K Y