La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 21 de sep. de 2014, 9:20 a. m. • 4 Y Y por ahmedosama, Mathuzb, Adventure10, Mango247 Determine todas las cuádruplas $(x,y,z,t)$ de enteros positivos tales que \[ 20^x + 14^{2y} = (x + 2y + z)^{zt}.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 15 de nov. de 2025, 8:43 a. m. • 1 Y Y por mxsail Encuentre todos los pares $(p,q)$ de números primos positivos, no necesariamente distintos, tales que la expresión $p^2+3pq+q^2$ sea un cuadrado perfecto; una potencia de $5$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 24 de julio de 2013, 9:58 a. m. • 6 Y Y por Vietjung, Adventure10 y otros 4 usuarios. Los puntos $X$ e $Y$ dentro del rombo $ABCD$ son tales que $Y$ está dentro del cuadrilátero convexo $BXDC$ y $2\angle XBY = 2\angle XDY = \angle ABC$. Demuestre que las rectas $AX$ y $CY$ son paralelas. S. Berlov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 10:05 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $1 \leq k \leq n.$ Considere todas las sucesiones finitas de enteros positivos con suma $n.$ Encuentre $T(n,k),$ el número total de términos de tamaño $k$ en todas las sucesiones. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. GreenTea2593 302 publicaciones GreenTea2593 #1 h 12 de julio de 2023, 1:05 AM Y Serge y Tanya quieren mostrarle a Masha un truco de magia. Serge sale de la habitación. Masha escribe una sucesión $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$, donde todos los $a_k$ son iguales a $0$ o $1$. Después de eso, Tanya escribe una sucesión $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$, donde todos los $b_k$ también son iguales a $0$ o $1$. Luego, Masha no hace nada o dice “Mutabor” y reemplaza ambas sucesiones: su propia sucesión por $(a_n, a_{n-1}, \ldots , a_1)$ y la sucesión de Tanya por $(1 - b_n, 1 - b_{n-1}, \ldots , 1 - b_1)$. La sucesión de Masha está cubierta por una servilleta y se invita a Serge a entrar a la habitación. Serge debe mirar la sucesión de Tanya y decir la sucesión cubierta por la servilleta. ¿Para qué $n$ pueden Serge y Tanya prepararse y mostrar tal truco? Serge no tiene que determinar si se ha pronunciado la palabra “Mutabor”. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de octubre de 2005, 10:41 a. m. • 2 Y Y por Amir Hossein, Adventure10 Una sucesión de números $a_n, n = 1,2, \ldots,$ se define de la siguiente manera: $a_1 = \frac{1}{2}$ y para cada $n \geq 2$ \[ a_n = \frac{2 n - 3}{2 n} a_{n-1}. \] Demuestre que $\sum^n_{k=1} a_k < 1$ para todo $n \geq 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ltf0501 191 publicaciones ltf0501 #1 h 23 de junio de 2022, 9:33 PM Y por Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $P$ un punto arbitrario en el segmento $BC$ . Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ corta a $AB$ en $P_b$ . Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ corta a $AC$ en $P_c$ . Demuestre que el circuncírculo del triángulo $AP_bP_c$ pasa por un punto fijo distinto de $A$ cuando $P$ varía en el segmento $BC$ . Propuesto por ltf0501 Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 3 de noviembre de 2005, 2:15 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 i.) Sea $g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.$ ¿Cuál es el resto cuando el polinomio $g(x^{12})$ se divide por el polinomio $g(x)$? ii.) Si $k$ es un número positivo y $f$ es una función tal que, para todo número positivo $x, f(x^2 + 1 )^{\sqrt{x}} = k.$ Encuentre el valor de \[ f( \frac{9 +y^2}{y^2})^{\sqrt{ \frac{12}{y} }} \] para todo número positivo $y.$ iii.) La función $f$ satisface la ecuación funcional $f(x) + f(y) = f(x+y) - x \cdot y - 1$ para todo par $x,y$ de números reales. Si $f(1) = 1,$ entonces encuentre el número de enteros $n$ para los cuales $f(n) = n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 22 de oct. de 2005, 10:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el número total de enteros diferentes que toma la función \[ f(x) = \left[x \right] + \left[2 \cdot x \right] + \left[\frac{5 \cdot x}{3} \right] + \left[3 \cdot x \right] + \left[4 \cdot x \right] \] para $0 \leq x \leq 100.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. swynca 19 publicaciones swynca #1 h 27 de abril de 2025, 8:03 a. m. • 4 Y Y por dangerousliri, megarnie, farhad.fritl, Rounak_iitr Un entero $n > 1$ se llama $\emph{bueno}$ si existe una permutación $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ de los números $1, 2, 3, \dots, n$, tal que: $(i)$ $a_i$ y $a_{i+1}$ tienen paridades diferentes para todo $1 \leq i \leq n-1$; $(ii)$ la suma $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ es un residuo cuadrático módulo $n$ para todo $1 \leq k \leq n$. Demuestre que existen infinitos números buenos, así como infinitos enteros positivos que no son buenos. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por swynca, 27 de abril de 2025, 10:15 a. m. Z K Y