La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 26 de mar. de 2024, 9:24 a. m. • 1 Y Y por mxsail Sobre una mesa, tenemos diez mil cerillas, dos de las cuales están dentro de un cuenco. Anna y Bernd juegan al siguiente juego: se turnan alternativamente y Anna comienza. Un turno consiste en contar las cerillas en el cuenco, elegir un divisor propio $d$ de este número y añadir $d$ cerillas al cuenco. El juego termina cuando hay más de $2024$ cerillas en el cuenco. La persona que realizó el último turno gana. Demuestre que Anna puede ganar independientemente de cómo juegue Bernd. (Richard Henner) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 26 de mar. de 2024, 9:31 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rushil 1592 publicaciones Rushil #1 h 7 de nov. de 2005, 4:57 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $C$ es un punto en el semicírculo de diámetro $AB$ , entre $A$ y $B$ . $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $AB$ . El círculo $K_1$ es el incírculo de $ABC$ , el círculo $K_2$ es tangente a $CD,DA$ y al semicírculo, el círculo $K_3$ es tangente a $CD,DB$ y al semicírculo. Demuestre que $K_1,K_2$ y $K_3$ tienen otra tangente común además de $AB$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:42 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(FRA 4)$ Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la recta $OB$ es tangente a la recta $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo distinta de $OA$ ($T$ es el punto de tangencia). Demuestre que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ corta a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 9:52 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 $(NET 6)$ Una curva determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ se construye en una cuadrícula rectangular. Determine el número de cuadrados cortados por la curva. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. danepale 99 publicaciones danepale #1 h 20 de sep. de 2014, 1:30 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Consideramos disecciones de $n$-gonos regulares en $n - 2$ triángulos mediante $n - 3$ diagonales que no se intersecan dentro del $n$-gono. Una triangulación bicolor es una disección de un $n$-gono en la cual cada triángulo está coloreado de negro o blanco y cualesquiera dos triángulos que comparten una arista tienen colores diferentes. Llamamos a un entero positivo $n \ge 4$ triangulable si todo $n$-gono regular tiene una triangulación bicolor tal que, para cada vértice $A$ del $n$-gono, el número de triángulos negros de los cuales $A$ es un vértice es mayor que el número de triángulos blancos de los cuales $A$ es un vértice. Encuentre todos los números triangulables. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathpk 199 publicaciones mathpk #1 h 22 de mar. de 2008, 10:32 a. m. • 3 Y Y por InCtrl, Adventure10 y otro usuario Sea $ ABC$ un triángulo con $ \angle A < 60^\circ$ . Sean $ X$ e $ Y$ los puntos en los lados $ AB$ y $ AC$ , respectivamente, tales que $ CA + AX = CB + BX$ y $ BA + AY = BC + CY$ . Sea $ P$ el punto en el plano tal que las rectas $ PX$ y $ PY$ son perpendiculares a $ AB$ y $ AC$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle BPC < 120^\circ$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 1:44 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(GBR 1)$ Se dice que el polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$, donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para todo valor entero de $x$. Demuestre que si $P(x)$ es divisible por $m$, entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$. Demuestre también que si $a, k, m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$, entonces se puede encontrar un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ que sea divisible por $m.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 29 de sep. de 2010, 12:56 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(BEL 2) (a)$ Encuentre las ecuaciones de las hipérbolas equiláteras que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0)$ y $C(0, \gamma).$ $(b)$ Demuestre que todas estas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC.$ $(c)$ Encuentre el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. $(d)$ Compruebe si este lugar geométrico coincide con el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 3:46 AM • 2 Y Y por megarnie, Adventure10 $(SWE 6)$ Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no pueden expresarse como la suma de los cuadrados de tres enteros positivos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Goutham 3130 publicaciones Goutham #1 h 4 de octubre de 2010, 10:34 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $(POL 3)$ Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1$ y $k + 2$. Demuestre que $f(m)$ es divisible por $3$ para todo entero $m$. Z K Y