2 Considere $120$ cuadrados unitarios situados arbitrariamente en un rectángulo de $20\times 25$. Demuestre que se puede colocar un círculo de diámetro unitario en el rectángulo sin intersecar ninguno de los cuadrados.

11 El triángulo $ABC$ satisface $0\le AB\le 1\le BC\le 2\le CA\le 3$. ¿Cuál es el área máxima que puede tener?

12 Dados enteros distintos $x, y, z$, demuestre que $(x-y)^5 + (y-z)^5 + (z-x)^5$ es divisible por $5(x-y)(y- z)(z-x)$.

10 En un triángulo, $AB=BC$ y $M$ es el punto medio de $AC$. Se elige $H$ en $BC$ de tal manera que $MH$ es perpendicular a $BC$. $P$ es el punto medio de $MH$. Demuestre que $AH$ es perpendicular a $BP$.

Sea $P$ un punto y $ABC$ un triángulo equilátero que satisfacen $|AP|=2$ y $|BP|=3$. Maximice $|CP|$.

6 Dadas las longitudes $AB$ y $BC$ y el hecho de que las medianas correspondientes a esos dos lados son perpendiculares, construya el triángulo $ABC$.

155 cuadrados unitarios $N$ en una hoja infinita de papel cuadriculado están pintados de color negro. Demuestre que se puede recortar un número finito de piezas cuadradas y satisfacer dos condiciones: todos los cuadrados negros están contenidos en dichas piezas y el área de los cuadrados negros no es menor que $1/5$ ni mayor que $4/5$ del área de cada pieza.

096 Se dibuja una circunferencia de radio $100$ cm sobre papel cuadriculado con cuadrados de lado $1$ cm. Esta no pasa por los vértices de los cuadrados ni toca las líneas. ¿Por cuántos cuadrados puede pasar?

9 Se da un número con $1998$ dígitos que es divisible por $9$. Sea $x$ la suma de sus dígitos, sea $y$ la suma de los dígitos de $x$, y $z$ la suma de los dígitos de $y$. Encuentre $z$.

117 Dada una sucesión finita de ceros y unos, la cual tiene dos propiedades: a) si en algún lugar arbitrario de la sucesión seleccionamos cinco dígitos consecutivos y también seleccionamos cinco dígitos en cualquier otro lugar consecutivo, entonces estos grupos de cinco serán diferentes (pueden solaparse); b) si se añade cualquier dígito a la derecha de la sucesión, entonces la propiedad (a) dejará de cumplirse. Demuestre que los primeros cuatro dígitos de nuestra sucesión coinciden con los últimos cuatro.