37 Demuestre que las cuatro perpendiculares trazadas desde los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cíclico hacia los lados opuestos respectivos son concurrentes. Nota de Darij: Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo.

38 Dos círculos concéntricos tienen radios $R$ y $r$ respectivamente. Determine el mayor número posible de círculos que son tangentes a ambos círculos y que no se intersecan entre sí. Demuestre que este número se encuentra entre $\frac 32 \cdot \frac{\sqrt R +\sqrt r }{\sqrt R -\sqrt r } -1$ y $\frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}.$ Amir

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

10 Para cualquier entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$. Determine el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$.

63 Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en el interior de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de este triángulo. Demuestre que el área de al menos uno de los tres triángulos $ AQR$ , $ BRP$ , $ CPQ$ es menor o igual a un cuarto del área del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa: Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en los segmentos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Demuestre que $ \min\left\{\left|AQR\right|,\left|BRP\right|,\left|CPQ\right|\right\}\leq\frac14\cdot\left|ABC\right|$ , donde la abreviatura $ \left|P_1P_2P_3\right|$ denota el área (no dirigida) de un triángulo arbitrario $ P_1P_2P_3$ .

62 Resuelva el sistema de ecuaciones \[ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1 \] \[ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1 \] \[ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4=1 \] \[ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3=1 \] donde $a_1, a_2, a_3, a_4$ son cuatro números reales distintos.

8 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

51 Considere $n$ estudiantes con los números $1, 2, \ldots, n$ colocados en el orden $1, 2, \ldots, n.$ Ante una orden, cualquiera de los estudiantes permanece en su lugar o intercambia su lugar con otro estudiante. (En realidad, si el estudiante $A$ intercambia su lugar con el estudiante $B,$ entonces $B$ no puede intercambiar su lugar con ningún otro estudiante $C$ hasta que llegue la siguiente orden.) ¿Es posible organizar a los estudiantes en el orden $n, 1, 2, \ldots, n-1$ después de dos órdenes?

57 ¿Es posible elegir un conjunto de $100$ (o $200$) puntos en la frontera de un cubo tal que este conjunto sea invariante bajo cada isometría del cubo en sí mismo? Justifique su respuesta. Amir

1995.1.2 Dos círculos de igual radio se intersecan en dos puntos distintos $A$ y $B$. Sean $r$ sus radios y $O_1$ y $O_2$ sus centros respectivos. Encuentre el mayor valor posible del área del rectángulo $O_1AO_2B$.