La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat -Euler 444 publicaciones Fermat -Euler #1 h 2 de nov. de 2005, 8:05 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ ABC$ un triángulo, y sean las bisectrices de sus ángulos $ CAB$ y $ ABC$ que se cortan con los lados $ BC$ y $ CA$ en los puntos $ D$ y $ F$ , respectivamente. Las rectas $ AD$ y $ BF$ se cortan con la recta que pasa por el punto $ C$ paralela a $ AB$ en los puntos $ E$ y $ G$ respectivamente, y tenemos $ FG = DE$ . Demuestre que $ CA = CB$ . Formulación original: Sea $ ABC$ un triángulo y $ L$ la recta que pasa por $ C$ paralela al lado $ AB.$ Sea la bisectriz interna del ángulo en $ A$ que corta al lado $ BC$ en $ D$ y a la recta $ L$ en $ E$ , y sea la bisectriz interna del ángulo en $ B$ que corta al lado $ AC$ en $ F$ y a la recta $ L$ en $ G.$ Si $ GF = DE,$ demuestre que $ AC = BC.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 3:02 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n \geq 5$ un entero positivo. $a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots, a_n, b_n$ son enteros. $( a_i, b_i)$ son distintos por pares para $i = 1, 2, \ldots, n$ , y $|a_1b_2 - a_2b_1| = |a_2b_3 -a_3b_2| = \cdots = |a_{n-1}b_n -a_nb_{n-1}| = 1$ . Demuestre que existe un par de índices $i, j$ que satisfacen $2 \leq |i - j| \leq n - 2$ y $|a_ib_j -a_jb_i| = 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:56 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dadas tres letras $X, Y, Z$, podemos construir sucesiones de letras arbitrariamente, tales como $XZ, ZZYXYY, XXYZX$, etc. Para cualquier sucesión dada, podemos realizar las siguientes operaciones: $T_1$: Si la letra más a la derecha es $Y$, entonces podemos añadir $YZ$ después de ella, por ejemplo, $T_1(XYZXXY) = (XYZXXYYZ).$ $T_2$: Si la sucesión contiene $YYY$, podemos reemplazarlas por $Z$, por ejemplo, $T_2(XXYYZYYYX) = (XXYYZZX).$ $T_3$: Podemos reemplazar $Xp$ ($p$ es cualquier sub-sucesión) por $XpX$, por ejemplo, $T_3(XXYZ) = (XXYZX).$ $T_4$: En una sucesión que contiene una o más $Z$, podemos reemplazar la primera $Z$ por $XY$, por ejemplo, $T_4(XXYYZZX) = (XXYYXYZX).$ $T_5$: Podemos reemplazar cualquiera de $XX, YY, ZZ$ por $X$, por ejemplo, $T_5(ZZYXYY) = (XYXX)$ o $(XYXYY)$ o $(ZZYXX).$ Usando las operaciones anteriores, ¿podemos obtener $XYZZ$ a partir de $XYZ$? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 12:38 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las cuerdas $ AB$ y $ CD$ de un círculo se cortan en un punto $ E$ dentro del círculo. Sea $ M$ un punto interior del segmento $ EB$ . La recta tangente en $ E$ al círculo que pasa por $ D$ , $ E$ y $ M$ corta a las rectas $ BC$ y $ AC$ en $ F$ y $ G$ , respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] encuentre $\frac {EG}{EF}$ en términos de $ t$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 15 de ago. de 2008, 11:17 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:56 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Seis ciudades $A, B, C, D, E$ y $F$ están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. $G$ es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades $B, C, E, F$ y $G$, respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden ser destruidas. La probabilidad de que la carretera entre dos ciudades consecutivas permanezca sin destruir es $p$. Determine la probabilidad de que la carretera entre las ciudades $A$ y $D$ esté sin destruir. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 3:03 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $\mathbb Q$ el conjunto de todos los números racionales y $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. La función $f: \mathbb Q \to \mathbb R$ satisface las siguientes condiciones: (i) $f(0) = 0$, y para cualquier $a \in \mathbb Q$ distinto de cero, $f(a) > 0.$ (ii) $f(x + y) = f(x)f(y) \qquad \forall x,y \in \mathbb Q.$ (iii) $f(x + y) \leq \max\{f(x), f(y)\} \qquad \forall x,y \in \mathbb Q , x,y \neq 0.$ Sea $x$ un entero y $f(x) \neq 1$. Demuestre que $f(1 + x + x^2+ \cdots + x^n) = 1$ para cualquier entero positivo $n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bambaman 345 publicaciones bambaman #1 h 30 de oct. de 2008, 7:02 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se trazan $ 2n+1$ líneas en el plano, de tal manera que cada 3 líneas definen un triángulo sin ángulos rectos. ¿Cuál es el número máximo posible de triángulos acutángulos que se pueden formar de esta manera? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Wolowizard 617 publicaciones Wolowizard #1 h 16 de ene. de 2017, 5:38 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Un rectángulo en un papel cuadriculado con la longitud del lado de un cuadrado unitario igual a $1$ está dividido en figuras de dominó (dos cuadrados unitarios que comparten un borde común). Demuestre que puede colorear todas las esquinas de los cuadrados en el borde del rectángulo y dentro del rectángulo con $3$ colores, de tal manera que para cualesquiera dos esquinas con distancia $1$ se cumplan las siguientes condiciones: están coloreadas con un color diferente si la línea que conecta las dos esquinas está en el borde de dos figuras de dominó, y coloreadas con el mismo color si la línea que conecta las dos esquinas está dentro de una figura de dominó. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. JuanDelPan 122 publicaciones JuanDelPan #1 h 30 de oct. de 2022, 3:38 p. m. • 1 Y Y por Mango247 Sea $ABC$ un triángulo, con $AB\neq AC$. Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con diámetros $AB$ y $BC$, respectivamente. Se elige un punto $P$ en el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$, con $Q\neq A$. Demuestre que $O_1$, $O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 19 de dic. de 2005, 7:33 p. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Sea S un conjunto de 1990 elementos y P un conjunto de sucesiones de 100 términos $(a_1,a_2,...,a_{100})$, donde los $a_i$ son elementos distintos de S. Se dice que un par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en $(a_1,a_2,...,a_{100})$ si $x=a_i$ y $y=a_j$ para algunos i,j con $1\leq i<j\leq 100$. Suponga que cada par ordenado (x,y) de elementos de S aparece en a lo sumo un miembro de P. Demuestre que $|P|\leq 800$. Z K Y