La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 12:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, defina el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} -K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n.$ (i) Defina $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentre $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:58 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, TheMathBob, Mango247 Un matemático excéntrico tiene una escalera con $ n$ peldaños que siempre sube y baja de la siguiente manera: cuando sube, cada paso que da cubre $ a$ peldaños de la escalera, y cuando baja, cada paso que da cubre $ b$ peldaños de la escalera, donde $ a$ y $ b$ son enteros positivos fijos. Mediante una sucesión de pasos de ascenso y descenso, puede subir desde el nivel del suelo hasta el peldaño superior de la escalera y volver a bajar al nivel del suelo. Encuentre, con demostración, el valor mínimo de $ n,$ expresado en términos de $ a$ y $ b.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 24 de mar. de 2024, 5:19 a. m. • 1 Y Y por mxsail Matías tiene una hoja de papel rectangular $ABCD$ , con $AB<AD$ . Inicialmente, dobla la hoja a lo largo de una línea recta $AE$ , donde $E$ es un punto en el lado $DC$ , de modo que el vértice $D$ se ubica sobre el lado $BC$ , como se muestra en la figura. Luego, dobla la hoja nuevamente a lo largo de una línea recta $AF$ , donde $F$ es un punto en el lado $BC$ , de modo que el vértice $B$ yace sobre la línea $AE$ ; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la línea $EF$ . Matías observó que los vértices $B$ y $C$ se ubicaban en el mismo punto del segmento $AE$ después de realizar los dobleces. Calcule la medida del ángulo $\angle DAE$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/0/9/b9ab717e1806c6503a9310ee923f20109da31a.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 24 de mar. de 2024, 5:20 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. payman_pm 233 publicaciones payman_pm #1 h 31 de mayo de 2005, 5:00 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un triángulo $ ABC$ . Sean $ G$ , $ I$ , $ H$ el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle GIH > 90^{\circ}$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Demetres 451 publicaciones Demetres #1 h 23 de feb. de 2022, 6:57 a. m. • 1 Y Y por User768799 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $(c)$ su circunferencia circunscrita con centro $O$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. La recta $AM$ corta a la circunferencia $(c)$ nuevamente en el punto $D$. La circunferencia circunscrita $(c_1)$ del triángulo $\triangle MDC$ corta a la recta $AC$ en los puntos $C$ e $I$, y la circunferencia circunscrita $(c_2)$ del triángulo $\triangle AMI$ corta a la recta $AB$ en los puntos $A$ y $Z$. Si $N$ es el pie de la perpendicular desde $B$ hacia $AC$, y $P$ es el segundo punto de intersección de $ZN$ con $(c_2)$, demuestre que el cuadrilátero con vértices en los puntos $N, P, I$ y $M$ es un paralelogramo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. aleksam 101 publicaciones aleksam #1 h 6 de sep. de 2017, 11:26 a. m. • 5 Y Y por anantmudgal09, rmtf1111, dooo203, Adventure10, Mango247 et Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo que tiene un círculo inscrito y uno circunscrito. Denotemos por $\omega_{A}, \omega_{B},\omega_{C},\omega_{D},\omega_{E}$ y $\omega_{F}$ los círculos inscritos de los triángulos $FAB, ABC, BCD, CDE, DEF$ y $EFA$, respectivamente. Sea $l_{AB}$ la tangente externa común de $\omega_{A}$ y $\omega_{B}$; las rectas $l_{BC}$, $l_{CD}$, $l_{DE}$, $l_{EF}$, $l_{FA}$ se definen de manera análoga. Sea $A_1$ el punto de intersección de las rectas $l_{FA}$ y $l_{AB}$, y $B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ se definen de manera análoga. Demuestre que $A_1D_1, B_1E_1, C_1F_1$ son concurrentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por aleksam, 6 de sep. de 2017, 11:26 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 13 de ago. de 2008, 12:00 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ \alpha(n)$ el número de dígitos iguales a uno en la representación binaria de un entero positivo $ n.$ Demuestre que: (a) la desigualdad $ \alpha(n^2) \leq \frac{1}{2} \alpha(n)(\alpha(n) + 1)$ se cumple; (b) la desigualdad anterior es una igualdad para infinitos enteros positivos, y (c) existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ tiende a cero cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ Problema alternativo: Demuestre que existe una sucesión $ (n_i )^{\infty}_1$ tal que $ \frac{\alpha ( n^2_i )}{\alpha (n_i )}$ tiende a: (d) $ \infty;$ (e) un número real arbitrario $ \gamma \in (0,1)$ ; (f) un número real arbitrario $ \gamma \geq 0$ ; cuando $ i$ tiende a $ \infty.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:55 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incentro del triángulo $ ABC$ es $ K.$ El punto medio de $ AB$ es $ C_1$ y el de $ AC$ es $ B_1.$ Las rectas $ C_1K$ y $ AC$ se cortan en $ B_2,$ las rectas $ B_1K$ y $ AB$ en $ C_2.$ Si las áreas de los triángulos $ AB_2C_2$ y $ ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $ \angle CAB?$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ThE-dArK-lOrD 4072 publicaciones ThE-dArK-lOrD #1 h 26 de feb. de 2018, 7:33 a. m. • 3 Y Y por omarius, Adventure10, Mango247 Anna y Berta juegan un juego en el que se turnan para retirar canicas de una mesa. Anna toma el primer turno. Cuando al comienzo del turno hay $n\geq 1$ canicas sobre la mesa, la jugadora a la que le corresponde el turno retira $k$ canicas, donde $k\geq 1$ es un número par con $k\leq \frac{n}{2}$ o un número impar con $\frac{n}{2}\leq k\leq n$. Una jugadora gana el juego si retira la última canica de la mesa. Determine el número más pequeño $N\geq 100000$ tal que Berta pueda asegurar una victoria si hay exactamente $N$ canicas sobre la mesa al principio. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por ThE-dArK-lOrD, 28 de feb. de 2018, 1:49 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de agosto de 2008, 1:04 PM • 1 Y Y por Adventure10 Se fabrican cuentas a partir de cubos unitarios perforando un agujero a través de ellos a lo largo de una diagonal. Las cuentas se colocan en un hilo de tal manera que pueden moverse libremente en el espacio bajo la restricción de que los vértices de dos cubos vecinos se toquen. Sea $ A$ el vértice inicial y $ B$ el vértice final. Sean $ p \times q \times r$ cubos en el hilo $ (p, q, r \geq 1).$ (a) Determine para qué valores de $ p, q$ y $ r$ es posible construir un bloque con dimensiones $ p, q$ y $ r.$ Justifique sus respuestas. (b) La misma pregunta que en (a) con la condición adicional de que $ A = B.$ Z K Y