La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:48 p. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 Dados $ n$ países con tres representantes cada uno, $ m$ comités $ A(1),A(2), \ldots, A(m)$ se denominan un ciclo si (i) cada comité tiene $ n$ miembros, uno de cada país; (ii) no hay dos comités con la misma composición; (iii) para $ i = 1, 2, \ldots,m$ , el comité $ A(i)$ y el comité $ A(i + 1)$ no tienen ningún miembro en común, donde $ A(m + 1)$ denota $ A(1);$ (iv) si $ 1 < |i - j| < m - 1,$ entonces los comités $ A(i)$ y $ A(j)$ tienen al menos un miembro en común. ¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:22 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La función $f(n), n \in \mathbb N$ , se define de la siguiente manera: Sea $\frac{(2n)!}{n!(n+1000)!} = \frac{A(n)}{B(n)}$ , donde $A(n), B(n)$ son enteros positivos coprimos; si $B(n) = 1$ , entonces $f(n) = 1$ ; si $B(n) \neq 1$ , entonces $f(n)$ es el mayor factor primo de $B(n)$ . Demuestre que los valores de $f(n)$ son finitos y encuentre el valor máximo de $f(n).$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:42 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número de enteros impares entre los coeficientes binomiales $\binom nh \ ( 0 \leq h \leq n)$ es una potencia de 2. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 15 de ago. de 2008, 12:55 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 El incentro del triángulo $ ABC$ es $ K.$ El punto medio de $ AB$ es $ C_1$ y el de $ AC$ es $ B_1.$ Las rectas $ C_1K$ y $ AC$ se cortan en $ B_2,$ las rectas $ B_1K$ y $ AB$ en $ C_2.$ Si las áreas de los triángulos $ AB_2C_2$ y $ ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $ \angle CAB?$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 10:35 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Utilizando las siguientes cinco figuras, ¿se puede construir un paralelepípedo cuyas longitudes de lado sean todas enteros mayores que $1$ y cuyo volumen sea $1990$? (En la figura, cada cuadrado representa un cubo unitario). \[\text{Los cuadrados son iguales y todos son de } \Huge{1 \times 1}\] [asy] import graph; size(400); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen xdxdff = rgb(0.49,0.49,1); draw((2,4)--(0,4),linewidth(2pt)); draw((0,4)--(0,0),linewidth(2pt)); draw((0,0)--(2,0),linewidth(2pt)); draw((2,0)--(2,1),linewidth(2pt)); draw((2,1)--(0,1),linewidth(2pt)); draw((1,0)--(1,4),linewidth(2pt)); draw((2,4)--(2,3),linewidth(2pt)); draw((2,3)--(0,3),linewidth(2pt)); draw((0,2)--(1,2),linewidth(2pt)); label("(1)", (0.56,-1.54), SE*lsf); draw((4,2)--(4,1),linewidth(2pt)); draw((7,2)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((4,2)--(7,2),linewidth(2pt)); draw((4,1)--(7,1),linewidth(2pt)); draw((6,0)--(6,3),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(5,0),linewidth(2pt)); draw((5,0)--(6,0),linewidth(2pt)); draw((5,3)--(6,3),linewidth(2pt)); label("(2)", (5.13,-1.46), SE*lsf); draw((9,0)--(9,3),linewidth(2pt)); draw((10,3)--(10,0),linewidth(2pt)); draw((12,3)--(12,0),linewidth(2pt)); draw((11,0)--(11,3),linewidth(2pt)); draw((9,2)--(12,2),linewidth(2pt)); draw((12,1)--(9,1),linewidth(2pt)); draw((9,3)--(10,3),linewidth(2pt)); draw((11,3)--(12,3),linewidth(2pt)); draw((12,0)--(11,0),linewidth(2pt)); draw((9,0)--(10,0),linewidth(2pt)); label("(3)", (10.08,-1.48), SE*lsf); draw((14,1)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(17,2),linewidth(2pt)); draw((15,2)--(15,0),linewidth(2pt)); draw((15,0)--(14,0)); draw((14,1)--(14,0),linewidth(2pt)); draw((16,2)--(16,0),linewidth(2pt)); label("(4)", (15.22,-1.5), SE*lsf); draw((14,0)--(16,0),linewidth(2pt)); draw((17,2)--(17,1),linewidth(2pt)); draw((19,3)--(19,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(20,0),linewidth(2pt)); draw((20,3)--(19,3),linewidth(2pt)); draw((19,2)--(20,2),linewidth(2pt)); draw((19,1)--(20,1),linewidth(2pt)); draw((20,0)--(19,0),linewidth(2pt)); label("(5)", (19.11,-1.5), SE*lsf); dot((0,0),ds); dot((0,1),ds); dot((0,2),ds); dot((0,3),ds); dot((0,4),ds); dot((1,4),ds); dot((2,4),ds); dot((2,3),ds); dot((1,3),ds); dot((1,2),ds); dot((1,1),ds); dot((2,1),ds); dot((2,0),ds); dot((1,0),ds); dot((5,0),ds); dot((6,0),ds); dot((5,1),ds); dot((6,1),ds); dot((5,2),ds); dot((6,2),ds); dot((5,3),ds); dot((6,3),ds); dot((7,2),ds); dot((7,1),ds); dot((4,1),ds); dot((4,2),ds); dot((9,0),ds); dot((9,1),ds); dot((9,2),ds); dot((9,3),ds); dot((10,0),ds); dot((11,0),ds); dot((12,0),ds); dot((10,1),ds); dot((10,2),ds); dot((10,3),ds); dot((11,1),ds); dot((11,2),ds); dot((11,3),ds); dot((12,1),ds); dot((12,2),ds); dot((12,3),ds); dot((14,0),ds); dot((15,0),ds); dot((16,0),ds); dot((15,1),ds); dot((14,1),ds); dot((16,1),ds); dot((15,2),ds); dot((16,2),ds); dot((17,2),ds); dot((17,1),ds); dot((19,0),ds); dot((20,0),ds); dot((19,1),ds); dot((20,1),ds); dot((19,2),ds); dot((20,2),ds); dot((19,3),ds); dot((20,3),ds); clip((-0.41,-10.15)--(-0.41,8.08)--(21.25,8.08)--(21.25,-10.15)--cycle); [/asy] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 12:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para enteros positivos $n, p$ con $n \geq p$, defina el número real $K_{n, p}$ de la siguiente manera: $K_{n, 0} = \frac{1}{n+1}$ y $K_{n, p} = K_{n-1, p-1} -K_{n, p-1}$ para $1 \leq p \leq n.$ (i) Defina $S_n = \sum_{p=0}^n K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Encuentre $\lim_{n \to \infty} S_n.$ (ii) Encuentre $T_n = \sum_{p=0}^n (-1)^p K_{n,p} , \ n = 0, 1, 2, \ldots$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Durante el recreo, $n$ niños se sientan en círculo y juegan al juego descrito a continuación. El profesor recorre a los niños en el sentido de las agujas del reloj y les reparte caramelos de acuerdo con las siguientes reglas: seleccione a un niño, dele un caramelo; y dele un caramelo también al niño que está al lado del primer niño; luego salte a un niño y dele un caramelo al siguiente niño; luego salte a dos niños; dele un caramelo al siguiente niño; luego salte a tres niños; dele un caramelo al siguiente niño;... Encuentre el valor de $n$ para el cual el profesor puede asegurar que cada niño reciba al menos un caramelo eventualmente (quizás después de muchas vueltas). Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 9:44 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea la función $f : \mathbb Z_{\geq 0}^3 \to \mathbb N$ que satisface las siguientes condiciones: (i) $ f(0, 0, 0) = 1;$ (ii) $f(x, y, z) = f(x - 1, y, z) + f(x, y - 1, z) + f(x, y, z - 1);$ (iii) al aplicar la relación anterior de forma iterativa, si alguno de $x', y', z'$ es negativo, entonces $f(x', y', z') = 0.$ Demuestre que si $x, y, z$ son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces $\frac{\left(f(x,y,z) \right) ^k}{ f(mx ,my, mz)}$ no es un entero para cualesquiera enteros $k, m > 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 18 de sep. de 2010, 11:57 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $0 < a_i \leq a, \ i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestre que (i) Si $n = 4$, entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^4 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1}{a^2} \leq 2.\] (ii) Si $n = 6$, entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^6 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_5 a_6 + a_6 a_1}{a^2} \leq 3.\] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 10 de ene. de 2025, 4:12 a. m. Razón: LaTeX corregido. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. tnoodee 57 publicaciones tnoodee #1 h 22 de octubre de 2015, 9:34 PM • 3 Y Y por Milana, Adventure10, Mango247 Sean $ x, y, z > 0 $ con $ x \leq 2, \;y \leq 3 \;$ y $ x+y+z = 11 $. Demuestre que $xyz \leq 36$ Z K Y