La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. math90 1537 publicaciones math90 #1 h 23 de feb. de 2019, 5:37 a. m. • 5 Y Y por itslumi, ImSh95, Adventure10, Mango247, cubres Amy y Bob juegan un juego. Al principio, Amy escribe un entero positivo en la pizarra. Luego, los jugadores realizan movimientos por turnos, Bob mueve primero. En cualquiera de sus movimientos, Bob reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n-a^2$, donde $a$ es un entero positivo. En cualquiera de sus movimientos, Amy reemplaza el número $n$ en la pizarra con un número de la forma $n^k$, donde $k$ es un entero positivo. Bob gana si el número en la pizarra se convierte en cero. ¿Puede Amy evitar que Bob gane? Maxim Didin, Rusia Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por math90, 16 de sep. de 2020, 5:27 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 28 de ago. de 2019, 12:09 p. m. • 5 Y Y por bumjoooon, MathLuis, tiendung2006, Adventure10, ItsBesi Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera dos números reales $x,y$ se cumple $$f(xf(y)+2y)=f(xy)+xf(y)+f(f(y)).$$ Propuesto por Patrik Bak, Eslovaquia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de sep. de 2019, 2:59 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 19 de sep. de 2010, 3:05 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n$ un entero positivo y $m = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. En el plano cartesiano, hay $n$ rectas distintas $L_1, L_2, \ldots, L_n$ y $m$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_m$, que satisfacen las siguientes condiciones: i) Cualesquiera dos rectas no son paralelas. ii) Cualesquiera tres rectas no son concurrentes. iii) Solo $A_1$ no se encuentra en ninguna recta $L_k$, y hay exactamente $k + 1$ puntos $A_j$ que se encuentran en la recta $L_k$ $(k = 1, 2, \ldots, n).$ Demuestre que existe un único polinomio $p(x, y)$ de grado $n$ que satisface $p(A_1) = 1$ y $p(A_j) = 0$ para $j = 2, 3, \ldots, m.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 2 de sep. de 2010, 12:24 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un círculo de radio $\rho$ es tangente a los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$, y su centro $K$ está a una distancia $p$ de $BC$. (a) Demuestre que $a(p - \rho) = 2s(r - \rho)$, donde $r$ es el inradio y $2s$ el perímetro de $ABC$. (b) Demuestre que si el círculo corta a $BC$ en $D$ y $E$, entonces \[DE=\frac{4\sqrt{rr_1(\rho-r)(r_1-\rho)}}{r_1-r}\] donde $r_1$ es el exradio correspondiente al vértice $A$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por phxu, 2 de jul. de 2015, 11:16 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 19 de mayo de 2024, 3:17 a. m. • 1 Y Y por mxsail Dados los enteros positivos $a,b,$ encuentre el menor entero positivo $m$ tal que entre cualesquiera $m$ enteros distintos en el intervalo $[-a,b]$ existan tres números distintos entre sí cuya suma sea cero. Propuesto por Marian Tetiva, Rumania Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. NJAX 29 publicaciones NJAX #1 h 18 de mayo de 2024, 2:57 AM • 5 Y Y por dmusurmonov, navi_09220114, ItsBesi, buratinogigle, mxsail Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y $I$ su incentro. Un punto $D$ se encuentra en el segmento $AC$ tal que $AB=AD,$ y la recta $BI$ corta a $AC$ en $E.$ Suponga que la recta $CI$ corta a $BD$ en $F,$ y $G$ se encuentra en el segmento $DI$ tal que $FD=FG.$ Demuestre que las rectas $AG$ y $EF$ se cortan en el circuncírculo del triángulo $CEI.$ Propuesto por Avan Lim Zenn Ee, Malasia Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por NJAX, 18 de mayo de 2024, 7:37 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Tintarn 9106 publicaciones Tintarn #1 h 29 de mayo de 2024, 10:16 a. m. • 1 Y Y por mxsail Un entero positivo se llama potente si todos los exponentes en su factorización en primos son $\ge 2$. Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos potentes consecutivos. (Walther Janous) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 30 de agosto de 2019, 8:20 a. m. • 4 Y Y por Instance, HWenslawski, Adventure10, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$. Sea $D$ el punto de intersección de la mediatriz del lado $BC$ con el lado $AC$. Sea $P$ un punto en el arco menor $AC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ tal que $DP \parallel BC$. Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AB$. Demuestre que $\angle APD=\angle MPB$. Propuesto por Dominik Burek, Polonia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de septiembre de 2019, 3:07 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. XbenX 590 publicaciones XbenX #1 h 29 de ago. de 2019, 3:03 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>BC$ y circunferencia circunscrita $\omega$. Suponga que $P$ es un punto en $\omega$ tal que $AP=AC$ y que $P$ es un punto interior en el arco menor $BC$ de $\omega$. Sea $Q$ el punto de intersección de las rectas $AP$ y $BC$. Además, suponga que $R$ es un punto en $\omega$ tal que $QA=QR$ y $R$ es un punto interior del arco menor $AC$ de $\omega$. Finalmente, sea $S$ el punto de intersección de la recta $BC$ con la mediatriz del lado $AB$. Demuestre que los puntos $P, Q, R$ y $S$ son concíclicos. Propuesto por Patrik Bak, Eslovaquia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por XbenX, 13 de sep. de 2019, 3:01 a. m. Z K Y

Determine el número natural más grande que tiene todos sus dígitos diferentes y es múltiplo de $5$, $8$ y $11$.