La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2011, 6:59 a. m. • 2 Y Y por reveryu, Adventure10 Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos disjuntos tales que $A \cup B = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$. Demuestre que existen elementos $a \in A$ y $b \in B$ tales que el número $a^3 + ab^2 + b^3$ es divisible por $11$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathmanman 1444 publicaciones mathmanman #1 h 25 de mayo de 2007, 11:40 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en un círculo de radio 1 con centro $O;$ todos los ángulos de $ABC$ son mayores que $45^\circ.$ $B_{1}$ es el pie de la perpendicular desde $B$ a $CO,$ $B_{2}$ es el pie de la perpendicular desde $B_{1}$ a $AC.$ De manera similar, $C_{1}$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $BO,$ $C_{2}$ es el pie de la perpendicular desde $C_{1}$ a $AB.$ Las rectas $B_{1}B_{2}$ y $C_{1}C_{2}$ se intersecan en $A_{3}.$ Los puntos $B_{3}$ y $C_{3}$ se definen de la misma manera. Encuentre el circunradio del triángulo $A_{3}B_{3}C_{3}.$ Propuesto por F.Bakharev, F.Petrov Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. N.T.TUAN 3595 publicaciones N.T.TUAN #1 h 20 de abril de 2007, 6:25 PM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $S$ el conjunto de todas las particiones de $2000$ (en una suma de enteros positivos). Para cada una de dichas particiones $p$, definimos $f (p)$ como la suma del número de sumandos en $p$ y el sumando máximo en $p$. Calcule el mínimo de $f (p)$ cuando $p \in S .$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. canada 134 publicaciones canada #1 h 7 de julio de 2010, 11:41 a. m. • 20 Y Y por anantmudgal09, zadaops, Davi-8191, MathbugAOPS, mijail, megarnie, belajar123, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, cubres y otros 9 usuarios Encuentre todas las funciones $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que \[\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)\] sea un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}.$ Propuesto por Gabriel Carroll, EE. UU. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 21 de junio de 2015, 7:52 p. m. Razón: formato Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:15 p. m. Y por Encuentre el número de $3$ dígitos más pequeño que sea el producto de dos números de $2$ dígitos, de tal manera que los siete dígitos de estos tres números sean todos diferentes. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 5:16 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 26 de dic. de 2025, 9:10 a. m. Y por Los números enteros positivos del $1$ al $100$ están escritos en la pizarra. Sardor pinta 10 de estos números de rojo de la siguiente manera: para cualesquiera $a,b$ distintos pintados de rojo, $|a-b| > 2$. ¿De cuántas maneras diferentes puede Sardor pintar estos números de rojo? Propuesto por Sardor Gafforov Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 26 de dic. de 2025, 9:11 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1950 publicaciones Assassino9931 #1 h 9 de mayo de 2025, 3:26 AM Y por Determine el mayor entero $c$ para el cual se cumple la siguiente afirmación: existe al menos una terna $(x,y,z)$ de enteros tal que \begin{align*} x^2 + 4(y + z) = y^2 + 4(z + x) = z^2 + 4(x + y) = c \end{align*} y todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen las ecuaciones son tales que $x,y,z$ son enteros. Marek Maruin, Eslovaquia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 9 de mayo de 2025, 3:26 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 15 de ene. de 2026, 4:01 p. m. Y por Sea $P_3(n)$ el número de descomposiciones posibles de $n$ en la suma de $3$ números naturales (sin importar el orden). Demuestre que \[P_3(6k+4)=3k^2+4k+1.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 27 de ago. de 2015, 10:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$, exactamente una de las siguientes ecuaciones es verdadera: \begin{align*} f(a)&=f(b), \\ f(a+b)&=\min\{f(a),f(b)\}. \end{align*} Observaciones: $\mathbb{N}$ denota el conjunto de todos los enteros positivos. Se dice que una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva si para todo $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 1:39 p. m. • 4 Y Y por Adventure10, EthanTAoPS, Grumpah, Mango247 Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos tales que $ 1 \le m < n$ . En sus representaciones decimales, los últimos tres dígitos de $ 1978^m$ son iguales, respectivamente, a los últimos tres dígitos de $ 1978^n$ . Encuentre $ m$ y $ n$ tales que $ m + n$ tenga su valor mínimo. Z K Y