64 $(USS 1)$ Demuestre que para un número natural $n > 2, (n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$

17 Demuestre la desigualdad \[ \frac{a_1+ a_3}{a_1 + a_2} + \frac{a_2 + a_4}{a_2 + a_3} + \frac{a_3 + a_1}{a_3 + a_4} + \frac{a_4 + a_2}{a_4 + a_1} \geq 4, \] donde $a_i > 0, i = 1, 2, 3, 4.$ Amir

16 $(CZS 5)$ Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ con lados $AB = a, BC = b, CD = c, DA = d$ y ángulos $\alpha = \angle DAB, \beta = \angle ABC, \gamma = \angle BCD$ y $\delta = \angle CDA$. Sea $s = \frac{a + b + c +d}{2}$ y $P$ el área del cuadrilátero. Demuestre que $P^2 = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd \cos^2\frac{\alpha +\gamma}{2}$

18 Si se da un triángulo acutángulo $ABC$, construya un triángulo equilátero $A'B'C'$ en el espacio tal que las rectas $AA', BB', CC'$ pasen por un punto dado. Amir

15 Sea $n$ un número natural. Demuestre que \[ \left\lfloor \frac{n+2^0}{2^1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2^1}{2^2} \right\rfloor +\cdots +\left\lfloor \frac{n+2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor =n. \] Observación: Para cualquier número real $x$, el número $\lfloor x \rfloor$ representa el mayor entero menor o igual a $x$.

11 Encuentre todas las soluciones $(x_1, x_2, . . . , x_n)$ de la ecuación \[1 +\frac{1}{x_1} + \frac{x_1+1}{x{}_1x{}_2}+\frac{(x_1+1)(x_2+1)}{x{}_1{}_2x{}_3} +\cdots + \frac{(x_1+1)(x_2+1) \cdots (x_{n-1}+1)}{x{}_1x{}_2\cdots x_n} =0\] Amir

12 Si $a$ y $b$ son números reales positivos arbitrarios y $m$ un entero, demuestre que \[\Bigr( 1+\frac ab \Bigl)^m +\Bigr( 1+\frac ba \Bigl)^m \geq 2^{m+1}.\] Amir

21 Sean $a_0, a_1, \ldots , a_k \ (k \geq 1)$ enteros positivos. Encuentre todos los enteros positivos $y$ tales que \[a_0 | y, (a_0 + a_1) | (y + a_1), \ldots , (a_0 + a_n) | (y + a_n).\] Amir

26 Demuestre la desigualdad a.) $ \left( a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\right) ^{2}\leq k\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}\right) , $ donde $k\geq 1$ es un número natural y $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{k}$ son números reales arbitrarios. b.) Usando la desigualdad (1), demuestre que si los números reales $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ satisfacen la desigualdad \[ a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq \sqrt{\left( n-1\right) \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right) }, \] entonces todos estos números $a_{1},$ $a_{2},$ $\ldots,$ $a_{n}$ son no negativos.

8 Encuentre todas las funciones $f$ definidas para todo $x$ que satisfacen la condición $xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y),$ para todo $x$ y $y.$ Demuestre que exactamente dos de ellas son continuas.