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11 Sea $n$ un entero positivo. Decimos que un polinomio $P$ con coeficientes enteros es $\emph{n-bueno}$ si existe un polinomio $Q$ de grado $2$ con coeficientes enteros tal que $Q(k)(P(k) + Q(k))$ nunca es divisible por $n$ para ningún entero $k$. Determine todos los enteros $n$ tales que todo polinomio con coeficientes enteros es un polinomio $n$-bueno.
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2013 Argentina Tst 2013 P4
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 22 de enero de 2026, 8:08 PM Y por Encuentre el entero positivo \(n\) más pequeño para el cual existen \(n\) números reales, no necesariamente distintos, todos ellos situados en el intervalo \((-1,1)\), tales que su suma es igual a \(0\) y la suma de sus cuadrados es igual a \(20\). Nota: El intervalo \((-1,1)\) consiste en todos los números reales estrictamente mayores que \(-1\) y estrictamente menores que \(1\). Z K Y
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2025 China Team Selection Test 2025 P16
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jhz 10 publicaciones jhz #1 h 25 de mar. de 2025, 6:56 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr En el cuadrilátero convexo $ABCD, AB \perp AD, AD = DC$. Sea $E$ un punto en el lado $BC$, y $F$ un punto en la extensión de $DE$ tal que $\angle ABF = \angle DEC>90^{\circ}$. Sea $O$ el circuncentro del $\triangle CDE$, y $P$ un punto en la extensión del lado $FO$ que satisface $FB =FP$. La recta $BP$ corta a $AC$ en el punto $Q$. Demuestre que $\angle AQB =\angle DPF.$ Z K Y
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2018 Cono Sur Olympiad 2018 P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 26 de ago. de 2018, 7:03 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Defina el producto $P_n=1! \cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!\cdot n!$ a) Encuentre todos los enteros positivos $m$ tales que $\frac {P_{2020}}{m!}$ sea un cuadrado perfecto. b) Demuestre que existen infinitos valores de $n$ tales que $\frac {P_{n}}{m!}$ sea un cuadrado perfecto, para al menos dos enteros positivos $m$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mathisreal, 1 de dic. de 2021, 10:09 a. m. Z K Y
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2012 Argentina Tst 2012 P5
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 22 de enero de 2026, 7:53 PM Y por Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo. Sea \(M\) el punto medio del lado \(AB\), y sean \(P\) y \(Q\) los pies de las alturas desde \(A\) y \(B\), respectivamente. El círculo que pasa por \(B\), \(M\) y \(P\) es tangente al lado \(AC\). Demuestre que el círculo que pasa por \(A\), \(M\) y \(Q\) es tangente a la extensión del lado \(BC\). Z K Y
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7 Sea $F(w):=\sum_{m \ge 0} c_{m} w^{m}$ una serie de potencias con radio de convergencia $1$. Sea $S \subset \{w \in \mathbb{C} : |w|=1\}$ el conjunto de puntos frontera de $|w|=1$ en los cuales $F$ no puede ser continuada analíticamente. Defina $$f(\tau):=F(e^{2\pi i \tau})$$ de modo que $f$ sea holomorfa en el semiplano superior $\mathbb{H}=\{\Im(\tau)>0\}.$ Para cada entero $n\ge 1$ establezca $\tau_{n}:=in\pi$ y desarrolle $f$ en una serie de Taylor alrededor de $\tau_{n}$ , $$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}^{(n)}(\tau-\tau_{n})^{k} $$ donde $|\tau-\tau_{n}|<\mathcal{R}_{n}$ , siendo $\mathcal{R}_{n}$ el radio de convergencia. Suponga que $1 \notin S$ , calcule $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow \infty}\limsup_{k \rightarrow \infty}\displaystyle \frac{2026}{n \pi|a_{k}^{(n)}|^{\frac{1}{k}}}$ Propuesto por Piyush Kumar Jha
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2001 Imo Shortlist 2001 P3
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 30 de sep. de 2004, 12:41 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$. Determine, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ sea un mínimo, y exprese este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 24 de oct. de 2004, 7:05 p. m. Z K Y
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2025 China Team Selection Test 2025 P23
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. EthanWYX2009 1196 publicaciones EthanWYX2009 #1 h 29 de mar. de 2025, 8:49 a. m. • 3 Y Y por MS_asdfgzxcvb, cubres, Rounak_iitr Sea \( n \geq 2 \) un entero. Dos jugadores, Alice y Bob, juegan el siguiente juego en el grafo completo \( K_n \): se turnan para realizar operaciones, donde cada operación consiste en colorear una o dos aristas que aún no han sido coloreadas. El juego termina si en algún momento existe un triángulo cuyas tres aristas estén todas coloreadas. Demuestre que existe un número positivo \(\varepsilon\), tal que Alice tiene una estrategia para que, sin importar cómo Bob coloree las aristas, el juego termine con un número de aristas coloreadas que no exceda \[ \left( \frac{1}{4} - \varepsilon \right) n^2 + n. \] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por EthanWYX2009, 29 de mar. de 2025, 8:56 a. m. Z K Y
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La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. blug 163 publicaciones blug #1 h 2 de dic. de 2025, 6:27 a. m. • 1 Y Y por mxsail Se da un cuadrilátero convexo cíclico $ABCD$. Los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $X$. Los rayos $AD$ y $BC$ se cortan en $Y$. Sean $I, J$ los incentros de $BCX$ y $CDY$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de $BCX$ y $CDY$ se cortan de nuevo en $Z\ne C$. Suponga que $CX=CY$. Demuestre que $ZI=ZJ$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por blug, 4 de dic. de 2025, 11:49 a. m. Z K Y
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La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. popcorn1 1098 publicaciones popcorn1 #1 h 2 de feb. de 2024, 11:40 a. m. • 4 Y Y por AdventuringHobbit, bjump, ihatemath123, centslordm Defina $f(x)=|| x|-\tfrac{1}{2}|$ y $g(x)=|| x|-\tfrac{1}{4}|$. Encuentre el número de intersecciones de las gráficas de $$y=4 g(f(\sin (2 \pi x))) \quad\text{ y }\quad x=4 g(f(\cos (3 \pi y))).$$ Z K Y
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