7 Sea $F(w):=\sum_{m \ge 0} c_{m} w^{m}$ una serie de potencias con radio de convergencia $1$. Sea $S \subset \{w \in \mathbb{C} : |w|=1\}$ el conjunto de puntos frontera de $|w|=1$ en los cuales $F$ no puede ser continuada analíticamente. Defina $$f(\tau):=F(e^{2\pi i \tau})$$ de modo que $f$ sea holomorfa en el semiplano superior $\mathbb{H}=\{\Im(\tau)>0\}.$ Para cada entero $n\ge 1$ establezca $\tau_{n}:=in\pi$ y desarrolle $f$ en una serie de Taylor alrededor de $\tau_{n}$ , $$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}^{(n)}(\tau-\tau_{n})^{k} $$ donde $|\tau-\tau_{n}|<\mathcal{R}_{n}$ , siendo $\mathcal{R}_{n}$ el radio de convergencia. Suponga que $1 \notin S$ , calcule $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow \infty}\limsup_{k \rightarrow \infty}\displaystyle \frac{2026}{n \pi|a_{k}^{(n)}|^{\frac{1}{k}}}$ Propuesto por Piyush Kumar Jha