24 $\{a_m(j)\}_{m \geq 1}$ $(j = 0,1,2,3,4,...)$ es una sucesión doblemente indexada tal que $a_m(j+1) = (a_m(j))^2 + 2a_m(j)$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $a_m(0) = \frac{1}{2^m}$. Encuentre $\lim_{n \longrightarrow \infty} a_n(n)$.

13 Sea $f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ una función continua que es diferenciable en $(a,b)$. Dado que $f(a)=f(b)$ y $f'(a)=f'(b)$, demuestre que para todo $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ f''(x) - \lambda f'(x)^2 = 0 \] tiene al menos una raíz real.

1 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que $\frac{n^2+1}{2m}$ y $\sqrt{2^{n-1}+m+4}$ sean ambos enteros.

4 Sea $p$ un primo impar. $a_1, a_2, \ldots, a_{p-1}$ son todos los números enteros distintos menores que $p$ (o el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots, p-1\}$ en un orden diferente). Demuestre que existe una permutación de estos $p-1$ números tal que $$p \mid \sum_{i=1}^{p-1}a_i^{b_i}$$

14 Sea $f\colon [a, b] \to [a, b]$ una función diferenciable tal que $f(a) = a$ y $f(b) = b$. Demuestre que existen $u, v \in (a, b)$ tales que $u < v$ y $f'(u) + f'(v) = 2$.

15 Sea $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable que satisface \[ f\left( \frac{1}{n} \right)=1\quad \forall n \in \mathbb{N} .\] Demuestre que $f'(0)=f''(0)=0$ .

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. ErikLim 277 publicaciones ErikLim #1 h 14 de feb. de 2026, 10:45 p. m. Y por A Un cuadrado de $9\times9$ se divide en cuadrados de $2\times2$ y piezas en "esquina" que consisten en tres cuadrados unitarios (es decir, un cuadrado de $2\times2$ al que se le ha eliminado un cuadrado unitario). ¿Cuál es el número máximo posible de cuadrados de $2\times2$ que pueden aparecer en dicha disección? Z K Y

20 Sea $f\colon [0,1] \to \mathbb{R}$ una función acotada que satisface \[ f(2x)=3f(x)\quad \forall \, x\in [0,{1}/{2}] .\] Demuestre que $\lim_{x \to 0^+} f(x)=0$ .

16 Sea $f\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función que es $n+1$ veces diferenciable y satisface \[ f(1) = f(0) = f'(0) = \dots = f^{(n)}(0) = 0. \] Demuestre que existe $\varepsilon \in (0, 1)$ tal que $f^{(n+1)}(\varepsilon) = 0$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mahaler 3092 publicaciones mahaler #1 h 8 de feb. de 2023, 12:35 p. m. Y por Llame a un entero positivo $n$ extra-distinto si los residuos cuando $n$ se divide por $2, 3, 4, 5$ y $6$ son distintos. Encuentre la cantidad de enteros positivos extra-distintos menores que $1000$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por mahaler, 20 de feb. de 2023, 7:55 p. m. Z K Y