61 $(SWE 4)$ Sean $a_0, a_1, a_2, \cdots$ determinados por $a_0 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2^n$. Demuestre que si $n$ es una potencia de $2$, entonces $a_n$ también lo es.

25 $(GBR 2)$ Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen ningún divisor común mayor que $1$. Demuestre que el mayor número que no se puede expresar de la forma $ax + by$ es $ab - a - b$. Si $N(k)$ es el mayor número que no se puede expresar de la forma $ax + by$ de exactamente $k$ maneras, encuentre $N(k).$

11 La matriz \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}\] satisface la desigualdad $\sum_{j=1}^n |a_{j1}x_1 + \cdots+ a_{jn}x_n| \leq M$ para cada elección de números $x_i$ iguales a $\pm 1$. Demuestre que \[|a_{11} + a_{22} + \cdots+ a_{nn}| \leq M.\] Amir

10 Demuestre que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) tales que cada par de ellos sea primo entre sí.

57 Sea el triángulo $ ABC $ con puntos $ M $ y $ N $ en los lados $ AB $ y $ AC $ respectivamente. Si $ \dfrac{BM}{MA} +\dfrac{CN}{NA} = 1 $, demuestre que el baricentro de $ ABC $ se encuentra sobre $ MN $.

44 $(MON 5)$ Encuentre el radio del círculo circunscrito al triángulo isósceles cuyos lados son las soluciones de la ecuación $x^2 - ax + b = 0$.

18 $(FRA 1)$ Sean $a$ y $b$ dos enteros no negativos. Denotemos por $H(a, b)$ el conjunto de números $n$ de la forma $n = pa + qb,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Determine $H(a) = H(a, a)$. Demuestre que si $a \neq b,$ es suficiente conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ para números coprimos $a, b$ con el fin de conocer todos los conjuntos $H(a, b)$. Demuestre que en el caso de números coprimos $a$ y $b, H(a, b)$ contiene todos los números mayores o iguales a $\omega = (a - 1)(b - 1)$ y también $\frac{\omega}{2}$ números menores que $\omega$.

19 $(FRA 2)$ Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ el último dígito del número $x^m$ en el sistema de numeración con base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$? Demuestre que la sucesión $x_m$ es periódica con un periodo $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$? Demuestre que si $m$ y $x$ son primos entre sí, entonces $0_m, 1_m, . . . , (n-1)_m$ son números diferentes. Encuentre el periodo mínimo $t$ en términos de $n.$ Si $n$ no cumple la condición dada, demuestre que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la sucesión es periódica comenzando solo a partir de algún número $k > 1.$

21 $(FRA 4)$ Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la recta $OB$ es tangente a la recta $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo distinta de $OA$ ($T$ es el punto de tangencia). Demuestre que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ corta a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$

9 Encuentre todas las soluciones reales positivas para: \begin{eqnarray*} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5) &\le& 0 \\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1) &\le& 0 \\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2) &\le& 0 \\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3) &\le & 0 \\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4) &\le& 0 \\ \end{eqnarray*}